Kapitel 9: Grenzwerte (S. 134)

Aufgabe 1

(a) Die ersten fünf Glieder diesr Folgen sind

\(\displaystyle a_{1}=\left(\frac{7}{8}\right)^{1}=\frac{7}{8},\;a_{2}=\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64},\;a_{3}=\left(\frac{7}{8}\right)^{3}=\frac{343}{512},\;a_{4}=\left(\frac{7}{8}\right)^{4}=\frac{2401}{4096},\;a_{5}=\left(\frac{7}{8}\right)^{5}=\frac{16807}{32768}\,,\)
\(\displaystyle b_{1}=\left(\frac{9}{8}\right)^{1}=\frac{9}{8},\;b_{2}=\left(\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64},\;b_{3}=\left(\frac{9}{8}\right)^{3}=\frac{729}{512},\;b_{4}=\left(\frac{9}{8}\right)^{4}=\frac{6561}{4096},\;b_{5}=\left(\frac{9}{8}\right)^{5}=\frac{59049}{32768}\,,\)
\(\displaystyle c_{1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2,\;c_{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1,\;c_{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2},\;c_{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},\;c_{5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}\,,\)

(b) Da sowohl die Glieder der Folge \((a_{n})\) als auch die Folge \((c_{n})\) kleiner werden aber stets positiv bleiben, werden sie vermutlich den Grenzwert \(a=c=0\) besitzen. Die Glieder der Folge \((b_{n})\) wachsen durchgehend an, daher hat diese Folge keinen Grenzwert.

(c) Zur Folge \((b_{n})\) haben wir in Aufgabenteil (b) bereits eine Begründung geliefert. Versuchen wir uns daher zunächst an der Folge \((a_{n})\). Angenommen der Grenzwert ist wirklich \(a=0\), so gilt für den Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert:

\(\displaystyle 0<a_{n}-a=\left(\frac{7}{8}\right)^{n}-0=\left(\frac{7}{8}\right)^n\)

Ist nun \(\varepsilon>0\) gegeben und \(n>s\), so ist natürlich

\(\displaystyle -\varepsilon<0<a_{n}-a=\left(\frac{7}{8}\right)^n<\left(\frac{7}{8}\right)^s\)

Damit ist \(a=0\) tatsächlich der Grenzwert der Folge, falls wir eine Nummer s so bestimmen können, dass

\(\displaystyle\left(\frac{7}{8}\right)^s<\varepsilon\;\Longleftrightarrow\;s\cdot\ln\left(\frac{7}{8}\right)<\ln(\varepsilon)\;\Longleftrightarrow\;s>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(7)-\ln(8)}\)

ist. Und dass das geht, folgt wieder aus dem Archimedischen Axiom. Analog verfahren wir mit der Folge \((c_{n})\). Da für s>n

\(\displaystyle0<c_{n}-c=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-0=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^s\)

müssen wir zu vorgegebenem \(\varepsilon>0\) die Nummer \(s\) so bestimmen müssen, dass

\(\displaystyle4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{s}<\varepsilon\;\Longleftrightarrow\;4s\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)<\ln(\varepsilon)\;\Longleftrightarrow\;s>-\frac{\ln(\varepsilon)}{4\ln(2)}\)

ist. Dass es so eine Nummer tatsächlich gibt, folgt natürlich erneut aus dem Archimedischen Axiom.

Aufgabe 2

(a) Zum Beispiel die Folge \((a_{n})\) mit \(\displaystyle a_{n}=100+\frac{1}{n}\).

(b) Da bietet sich eine alternierende Folge an, also zum Beispiel die Folge \((b_{n})\) mit \(b_{n}=26\cdot(-1)^{n}\).

(c) Hier können wir ebenfalls auf eine alternierende Folge zurückgreifen, etwa \((c_{n})\) mit \(\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}\cdot\frac{2}{n}\).

Aufgabe 3

(a) Die ersten fünf Glieder dieser Folgen sind

\(\displaystyle a_{1}=\left(\frac{1}{9}\right)^{0}=1,\;a_{2}=\left(\frac{1}{9}\right)^{1}=\frac{1}{9},\;a_{3}=\left(\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81},\;a_{4}=\left(\frac{1}{9}\right)^{3}=\frac{1}{729},\;a_{5}=\left(\frac{1}{9}\right)^{4}=\frac{1}{6561}\,,\)
\(\displaystyle b_{1}=\left(\frac{8}{9}\right)^{1}=\frac{8}{9},\;b_{2}=\left(\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{64}{81},\;b_{3}=\left(\frac{8}{9}\right)^{3}=\frac{512}{729},\;b_{4}=\left(\frac{8}{9}\right)^{4}=\frac{4096}{6561},\;b_{5}=\left(\frac{8}{9}\right)^{5}=\frac{32768}{59049}\,,\)
\(\displaystyle c_{1}=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=5,\;c_{2}=5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{5}{2},\;c_{3}=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4},\;c_{4}=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{5}{8},\;c_{5}=5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{5}{16}\,.\)

(b) Für die ersten drei Glieder der zugehörigen Reihe erhalten wir

für \((a_{n})\):

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{1}\left(\frac{1}{9}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{9}\right)^{0}=1\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{1}{9}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{9}\right)^{0}+\left(\frac{1}{9}\right)^{1}=\frac{10}{9}\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{1}{9}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{9}\right)^{0}+\left(\frac{1}{9}\right)^{1}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{91}{81}\,,\)

für \((b_{n})\):

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{1}\left(\frac{8}{9}\right)^{i}=\left(\frac{8}{9}\right)^{1}=\frac{8}{9}\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{8}{9}\right)^{i}=\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\left(\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{136}{81}\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{8}{9}\right)^{i}=\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\left(\frac{8}{9}\right)^{3}=\frac{1736}{729}\,,\)

für \((c_{n})\):

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}+\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{3}{2}\,,\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}+\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}\,,\)

für \((a_{n})\):

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{i-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{9}{8}\,,\end{align*}\)

für \((b_{n})\):

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^{i}&=\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\ldots\\&=\frac{8}{9}\cdot\left(1+\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\ldots\right)\\&=\frac{8}{9}\cdot \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^{i-1}=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{1-\frac{8}{9}}=\frac{8}{9}\cdot 9=8\,,\end{align*}\)

für \((c_{n})\):

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\,,\end{align*}\)

Aufgabe 4

Zum Beispiel hat die Funktion

\(f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\;x\longmapsto\left\{\begin{aligned}&1,\;\text{für}\;2<x\leq5\\-&2,\;\text{sonst}\end{aligned}\right.\)

an den Stellen \(x=2\) und \(x=5\) keinen Grenzwert.

Aufgabe 5

(a) Da für eine stetige Funktion der Grenzwert an der Stelle \(x\) mit dem Funktionswert an der Stelle \(x\) übereinstimmen muss, müssen wir \(a\) so bestimmen, dass der Grenzwert an der Stelle \(x_{0}=2\) dem Funktionswert \(f(x_{0})=f(2)=2-5=-3\) entspricht. Nähern wir uns nun der Stelle \(x_{0}=2\) von rechts, strebt der Funktionswert \( f(x)\) gegen \( a\cdot x_{0}=a\cdot2=2a\). Entsprechend muss

\(2a=-3\;\Longleftrightarrow\;a=-\frac{3}{2}\)

sein.

(b) Hier ist die kritische Stelle gerade bei \( x_{0}=-1\) und mit ähnlichen Überlegungen wie in Aufgabenteil (a) kommt man zum Beispiel auf die Paare \((a,b)\) mit:

\(a=0,b=1\;;\quad a=1,b=0,\;;\quad a=2,b=-1.\)