Kapitel 9: Grenzwerte (S. 133)

Aufgabe 1

Wir müssen also zu einem beliebig vorgegebenen \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) angeben, so dass

für alle \(|x-0|<\delta\) eben \(|f(x)-f(0)|<\varepsilon\) ist.

Sei also nun ein \(\varepsilon>0\) gegeben. Wie kommen wir nun an ein passendes \(\delta\)? Dazu nutzen wir die Bedingungen die erfüllt sein sollen; unter der Voraussetzung, dass \(|x|<\delta\) ist, soll ja gerade \( |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) sein. Nun kennen wir ja die Funktion und daher ist

\(|f(x)-f(0)|=|x^2-0^2|=|x^2|=|x|^2\)

und wegen der Voraussetzung damit auch

\(|f(x)-f(0)|=|x|^2<\delta^2\,.\)

Damit nun \( |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) erfüllt ist genügt es, das \(\delta^2=\epsilon\) oder anders ausgedrückt (\(\delta\) und \(\varepsilon\) sind positiv) \(\delta=\sqrt{\varepsilon}\) ist. Wir haben also ein passendes \(\delta>0\) gefunden.

Anmerkung: Es mag ziemlich merkwürdig klingen, dass wir in diesem Zusammenhang von einem „gefunden“ \(\delta\) sprechen, da ja unser \(\delta=\sqrt{\varepsilon}\) keine konkrete Zahl ist. Tatsächlich stimmt das in diesem Fall aber garnicht. Hier treten nämlich gerade beide „Arten“ von Variablen auf; zum einen die freien (d.h. unbekannten und frei belegbaren) Variablen und zum anderen die gebundenen (d.h. unbekannten aber bereits festgelegten) Variablen.

Das \(\delta\) ist eine freie Variable, dessen Wert wir in dieser Aufgabe festlegen sollen. Das \(\varepsilon\) dagegen ist ja vorgegeben, also eine gebundene Variable und damit eine feste Zahl, die wir nur eben nicht kennen. Damit ist dann natürlich auch \(\sqrt{\varepsilon}\) eine konkrete Zahl. Schließlich mach es ja auch Sinn, dass zu verschiedenen \(\varepsilon\) auch verschiedene \(\delta\) nötig sind, \(\delta\) also von \(\varepsilon\) abhängt.

Aufgabe 2

(a) Wir müssen also im eigentlichen Sinne überprüfen, ob die gegebene Funktion an der Stelle \(x=2\) einen Grenzwert besitzt. Schon an der Skizze der Skizze der Funktion können wir ablesen, dass das hier nicht der Fall ist, da die Funktion bei \(x=2\) von links kommend gegen \(-\infty\) und von rechts kommend gegen \(\infty\) strebt.

Gäbe es einen Grenzwert \(a\), so müsste zum Beispiel zu \(\varepsilon=1\) ein Intervall um \(2\) existieren in dem alle zugehörigen Funktionswerte um nicht mehr als eins von a abweichen. Tatsächlich gibt es aber in jedem noch so kleinen Intervall immer ein Element \(x_{1}<2\) mit \(f(x_1)<-2\) (nämlich gerade alle \(2>x>\frac{3}{2}\)) und ein Element \(x_{2}>2\) mit \(f(x_{2})>2\) (nämlich alle \(2<x<\frac{5}{2}\)).

Dann müsste der Grenzwert \(a\) aber einerseits kleiner als -1 sein und gleichzeitig auch größer als 1 sein. Da das unmöglich ist, haben wir nachgewiesen, dass die Funktion bei \(x=2\) keinen Grenzwert hat und daher auch nicht stetig fortgesetzt werden kann.

(b) Auch hier zeigt die Skizze sehr schnell, dass die Funktion bei \(x=2\) keinen Grenzwert haben kann.

Tatsächlich müsste wie schon bei Teilaufgabe (a) für einen Grenzwert \(a\) und \(\varepsilon=1\) ein Intervall existieren, in dem alle zugehörigen Funktionswerte um nicht mehr als eins von a abweichen. Tatsächlich gibt es aber in jedem noch so kleinen Intervall immer ein Element \(x_{1}<2\) mit \(g(x_1)<-2\) (nämlich gerade alle \(2>x>\sqrt{5}-1\)) und ein Element \(x_{2}>2\) mit \(f(x_{2})>2\) (nämlich alle \(x>2\)).

Dann müsste der Grenzwert \(a\) wieder einerseits kleiner als -1 sein und gleichzeitig auch größer als 1 sein. Da das unmöglich ist, haben wir auch hier nachgewiesen, dass die Funktion \( g\) bei \(x=2\) keinen Grenzwert hat und daher auch nicht stetig fortgesetzt werden kann.

(c) Es bleibt die Funktion \(h\). Schon die Skizze lässt vermuten, dass die Funktion bei \(x=2\) den Grenzwert \(a=4\) hat.

Tatsächlich gilt für ein beliebig vorgegebenes \(\varepsilon>0\) zunächst einmal:

\(\displaystyle|h(x)-a|=\left|\frac{x^2-4}{x-2}-4\right|=\left|\frac{(x+2)\cdot(x-2)}{x-2}-4\right|=|x+2-4|=|x-2|\,,\)

d.h. der Abstand des Funktionswertes zu \(a=4\) entspricht genau dem Abstand der zugehörigen Abszisse \( x\) zur Stelle 2. Wählen wir also das Intervall \(\mathrm{I}\), so, dass es nur solche \(x\) enthält deren Abstand zu 2 kleiner als \(\varepsilon\) ist, also gerade

\(\mathrm{I}=(2-\varepsilon,2+\varepsilon)\),

gilt auch

\(|h(x)-a|=|x-2|<\varepsilon\,.\)

Es ist also tatsächlich \(a=4\) der Grenzwert von \(h\) an der Stelle \(x=2\) und somit \(h\) stetig fortsetzbar.