Kapitel 9: Grenzwerte (S. 129)

Aufgabe 1

(a) Die ersten vier Glieder der zugehörigen geometrischen Reihe lauten für \(q=\frac{3}{4}\):

• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{i-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{0}=1\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{i-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{0}+\left(\frac{3}{4}\right)^{1}=\frac{7}{4}\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{i-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{0}+\left(\frac{3}{4}\right)^{1}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{37}{16}\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{i-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{0}+\left(\frac{3}{4}\right)^{1}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}=\frac{175}{64}\,,\)

und für \(q=0,3\):

• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{1}0,3^{i-1}=0,3^{0}=1\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{2}0,3^{i-1}=0,3^{0}+0,3^{1}=1,3\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}0,3^{i-1}=0,3^{0}+0,3^{1}+0,3^{2}=1,39\,,\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}0,3^{i-1}=0,3^{0}+0,3^{1}+0,3^{2}+0,3^{3}=1,417\,.\)

(b) Mit der Formel von Seite 128 erhalten wir

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{i-1}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4\,\quad\text{und}\quad\sum_{i=1}^{\infty}0,3^{i-1}=\frac{1}{1-0,3}=\frac{10}{7}\)

Aufgabe 2

Für die Folge \((a_{n})\) ist die Reihe

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}5\cdot0,8^{i-1}&=5\cdot1+5\cdot0,8+5\cdot0,8^2+5\cdot0,8^3+\ldots\\&=5\cdot(1+0,8+0,8^2+0,8^3+\ldots)\\&=5\cdot\sum_{i=1}^{\infty}0,8^{i-1}=5\cdot\frac{1}{1-0,8}=5\cdot 5=25\end{align*}\)

und für die Folge \((b_n)\):

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^i&=\left(\frac{2}{3}\right)^{1}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{4}+\ldots\\&=\left(\frac{2}{3}\right)\cdot(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{1}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\ldots)\\&=\frac{2}{3}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{i-1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\cdot 3=2\end{align*}\)