Kapitel 8: Funktionen (S. 115)

Aufgabe 1

(a) Zum Zeitpunkt 0 sind 10 Fische vorhanden. Es gilt also \(a=10\) in der Standardform einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\). Wir wissen auch, dass \(f(2)=100\) ist, falls wir in der Einheit Wochen rechnen.

Uns fehlt noch die Basis \(b\) der Funktion. Für sie gilt \(100=10\cdot b^2\) und somit \(10=b^2\). Da die Basis positiv sein muss, folgt \(b=\sqrt{10}\).

Insgesamt gilt für die gesuchte Funktion so \(f(x)=10\cdot (\sqrt{10})^x\).

(b) Wir versuchen wieder \(f(x)\) und \(x\) zu vertauschen: Aus \(f(x)=10\cdot (\sqrt{10})^x\) folgt \(\frac{f(x)}{10}=(\sqrt{10})^x\). Wir wenden auf beiden Seiten \(\log_{\sqrt{10}}\) an, da es sich hierbei um die Umkehrfunktion der rechten Seite der Gleichung handelt. Somit gilt dann \(\log_{\sqrt{10}}(\frac{f(x)}{10})=x\). Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) lautet also \(f^{-1}(x)=\log_{\sqrt{10}}(\frac{x}{10})\).

Aufgabe 2

\(\log_a(1)=0\)
\(\log_x(\frac{1}{x})=\log_x(x^{-1})=-1\)
\(\log_2(8)=3\)
\(\log_a(a^x)=x\)
\(\log_3(\sqrt{3})=\log_3(3^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\)
\(\log_2 2+\log_2 4=1+2=3\)

Aufgabe 3

(a) \(f^{-1}(x)=\log_7(x)\)

(b) \(g^{-1}(n)=\log_{1,19}(3n)\)

Überprüfen kannst du das jeweils, indem du die Funktion in ihre Umkehrfunktion (bzw. umgekehrt) einsetzt und sich lediglich \(x\) (bzw. \(n\)) ergibt. Genaueres hierzu findest du auf Seite 112.