Kapitel 8: Funktionen (S. 113)

Aufgabe 1

(a) Durch den Tipp auf S. 112 wissen wir, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ineinander eingesetzt, die Identität ergeben, d. h. die Funktion, die alles beim Alten lässt. In Formeln heißt das \(f^{-1}(f(x))=x\) bzw. \(f(f^{-1}(x))=x\). Welche Variante du nutzt, ist dabei egal. Wir probieren hier die zweite Version:

Die Funktion \(f^{-1}(x)=-\frac{1}{12}x\) erfüllt diese Bedingung, denn es gilt: \(f(f^{-1}(x))=f(-\frac{1}{12}x)=-12(-\frac{1}{12}x)=x\). Die Funktion \(f^{-1}\), so wie wir sie aufgestellt haben, ist also wirklich die Umkehrfunktion von \(f\).

(b) Die Umkehrfunktion kann man auch direkt versuchen auszurechen, indem man den Term umstellt. Hierbei versucht man dann nicht mehr \(g(x)\) in Abhängigkeit von \(x\) zu bestimmen, sondern \(x\) in Abhängigkeit von \(g(x)\):

\(g(x)=\frac{1}{7}x-2 \Leftrightarrow g(x)+2=\frac{1}{7}x \Leftrightarrow 7g(x)=7\cdot 2=7\cdot \frac{1}{7}x\Leftrightarrow x=7g(x)+14\).

Für jedes \(g(x)\) lässt sich mit der oben entstandenen Formel also der zugehörige Wert von \(x\) bestimmen. Mit anderen Worten: Die Formel macht alles rückgängig, was die Funktion \(g\) anrichtet. Wenn wir den Zusammenhang nun etwas anders aufschreiben, indem wir \(x\) durch \(g^{-1}(x)\) und \(g(x)\) durch \(x\) ersetzen, haben wir die Umkehrfunktion: \(g^{-1}(x)=7x+14\).

Mit dem Tipp von S. 112 kannst du hier die Probe machen, ob du richtig umgestellt hast.

(c) Hier gehen wir wieder wie in (b) vor und erhalten: \(h^{-1}(t)=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}\).

Wenn man eine Funktion übrigens zweimal umkehrt, erhält man wieder die Ausgangsfunktion. Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist also wieder die Funktion selbst. Im Prinzip stellst du dann ja einmal zur einen, dann wieder zur anderen Variable um und hast dich somit nicht von der Stelle bewegt.

Aufgabe 2

Wir gehen hier zunächst genau so vor, wie in Aufgabe 1. Gegeben ist \(f(x)=x^2\). Wir ziehen hier die Wurzel auf beiden Seiten: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2}\) Hier müssen wir jetzt eine Fallunterscheidung machen: Wenn \(x\) positiv ist, gilt \(\sqrt{x^2}=x\) und somit \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2}=x\). Ist aber \(x\) negativ, hätten wir bei dieser Umformung ignoriert, dass auf der linken Seite das negative Vorzeichen aufgrund des Quadrats wegfallen würde, auf der rechten also nicht. Der Umformungsschritt kann also nicht richtig sein. Stattdessen müssen wir in diesem Fall \(\sqrt{x^2}=-x\) schreiben, um dies auszugleichen, denn so steht auf beiden Seiten der Gleichung etwas Positives. Es gilt dann also \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2}=-x\) und somit \(-\sqrt{f(x)}=x\).

Für den Fall, dass wir den positiven Teil der x-Achse betrachten, erhalten wir also die Umkehrfunktion \(g(x)=\sqrt{x}\). Für den Fall, dass wir den negativen Teil der x-Achse betrachten, erhalten wir ganz ähnlich die Umkehrfunktion \(h(x)=-\sqrt{x}\).

Eine Funktion kann aber diese Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllen, so dass es immer nur eine Umkehrfunktion für \(f(x)=x^2\) gibt, wenn man den Definitionsbereich auf eine der beiden Seiten der x-Achse einschränkt.

Grafisch sieht das dann so aus: Die Umkehrfunktionen \(g\) und \(h\) ergeben sich jeweils als Spiegelung des rechten bzw. linken Parabelastes an der Winkelhalbierenden \(w(x)=x\).

Aufgabe 3

Die folgenden Funktionen sind Umkehrfunktionen zueinander:

• \(f\) und \(k\)
• \(t\) und \(j\)
• \(h\) und \(g\)