Kapitel 8: Funktionen (S. 111)

Aufgabe 1

(a) Zwischen \(x=3\) und \(x=4\) unterschreitet \(p(x)=1000(\frac{1}{2})^x\) die 100er-Marke. Das entspricht dann einem Zeitraum zwischen 264 und 352 Jahren. Indem du Zahlen zwischen 3 und 4 einsetzt, kannst du noch etwas genauer werden. So kann man auf einen Wert von ungefähr 3,32193 kommen (wenn man viel Zeit und Geduld mitbringt). Das entspricht etwa 292 Jahren.

Da wir immer wieder halbieren, wird der Wert zwar jedes Mal kleiner, aber niemals 0 oder negativ. Der Funktionsgraph schneidet somit auch niemals die x-Achse.

(b) 7,5 Milliarden sind übrigens 7500000000. Die Grenze wird hier zwischen 20 und 21 überschritten. Der genaue Werte ist \(x=20.69717\). Nach 21 Stunden ist es also schon aus mit der Menschheit, was noch einmal die Stärke des Wachstums einer Exponentialfunktion verdeutlicht.

Aufgabe 2

Am besten rechnet man ausschließlich in einer Einheit, damit man nicht durcheinander kommt. Wir entscheiden uns für Meter. Die Papierstärke beträgt dann \(0,1 mm = 0,0001 m\).

Dies nutzen wir als Anfangswert. Da sich die Höhe des Papierstapels durch das halbierende Falten jeweils verdoppelt, erhalten wir \(b(x)=0,0001\cdot 2^x\), wobei \(x\) die Anzahl der Male ist, die wir falten. Durch Ausprobieren findet man raus, dass nach dem 22. Falten die Höhe des Berliner Fernsehturms überschritten wird. Ganz schön wenig oder hättest du richtig getippt? Der genaue Wert ist übrigens \(x=21,8113\), was hier aber keinen Sinn macht, da man nur eine natürliche Anzahl oft falten kann.