Kapitel 8: Funktionen
Aufgabe 1
(a) Generell gilt für Potenzfunktionen der allgemeinen Form \(f(x)=ax^n\), dass \(f(1)=a\cdot 1^n=a\) gilt. Aus diesem Grund kann man \(a\) und somit den gesamten Funktionsterm bestimmen, indem man schaut, welchen Wert der Funktionsgraph an der Stelle 1 annimmt.
Auf diese Weise können wir für \(f\) direkt auf \(a=0,5\) schließen. Somit gilt also \(f(x)=0,5\cdot x^n\).
Da der Graph für positive und negative x-Werte unterschiedlich aussieht, muss \(n\) eine ungerade Zahl sein (Man sagt der Graph ist punktsymmetrisch, siehe unten.). Wir versuchen es mit \(n=3\). In diesem Fall ist \(f(x)=0,5\cdot x^3\).
Diese Vermutung kann man jetzt überprüfen, indem man einzelne Punkte einsetzt. So verläuft der Graph z. B. durch den Punkt \((-2|-4)\). Es gilt \(f(-2)=0,5\cdot (-2)^3=0,5\cdot (-8)=-4\). Dieser Funktionsterm scheint also zu passen.
(b) Hier ist das nicht mehr so einfach möglich, da es schwer ist, den Wert für \(g\) an der Stelle 1 genau abzulesen. Grob kann man sagen, dass der Wert negativ ist und deutlich zwischen 0 und -0,5. Das können wir später nutzen, um die Plausibilität unserer Lösung zu prüfen.
Da wir \(a\) nicht direkt ablesen können, kümmern wir uns zunächst um \(n\): Auch hier scheint aufgrund der Punktsymmetrie ein ungerades \(n\) gesucht zu sein.
Versuchen wir es doch wieder mit \(n=3\). Dann gilt \(g(x)=a\cdot x^3\).
Man kann sehen, dass der Graph durch den Punkt \((2|-4)\) verläuft, was ein weiterer guter Anhaltspunkt ist. Das setzen wir wieder ein: \(-4=g(2)=a\cdot 2^3=a\cdot 8\). Daraus folgt \(a=-\frac{4}{8}=-0,5\). Somit hätten wir insgesamt \(g(x)=-0,5\cdot x^3\).
Jetzt haben wir aber ein Problem: Oben haben wir gesagt, dass \(a\) deutlich zwischen 0 und -0,5 liegt. Unsere Annahme muss also falsch gewesen sein. Wir sollten es daher mit der nächsten ungerade Zahl, nämlich \(n=5\) versuchen. Dann ist \(g(x)=a\cdot x^5\) und wir rechnen genau so: \(-4=g(2)=a\cdot 2^5=a\cdot 32\). Damit folgt nun \(a=-\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}\).
Insgesamt gilt also \(g(x)=-\frac{1}{8} x^5\). Das kommt auch gut mit unserer Beobachtung an der Stelle 1 zusammen, so dass der Funktionsterm diesmal der richtige sein wird.
Aufgabe 2
Potenziert man eine Zahl mit einem geraden Exponent, erhält man immer eine positive Zahl, egal ob die Ausgangszahl positiv oder negativ war. Ist der Exponent ungerade, erhält man für eine positive eine positive und für eine negative eine negative Zahl.
Ist der Exponent einer Potenzfunktion gerade, erhält man entsprechend immer positive Zahlen. So gilt z. B. \(e(-x)=\frac{1}{3}(-x)^2=\frac{1}{3}x^2=e(x)\). Genau so kann man sich auch davon überzeugen, dass \(b\), \(c\) und \(f\) für gerade \(n\) achsensymmetrisch sind.
Umgekehrt gilt z.B. für \(a\): \(-a(-x)=-(-2(-x)^7)=2(-x)^7=2(-x)(-x)(-x)(-x)(-x)(-x)(-x)=2x^6(-x)=-2x^7=a(x)\). Entsprechend ist die Funktion punktsymmetrisch. Genau so ist es für \(d(x)=-3x=-3x^1\) und für \(f\) mit ungeradem \(n\) der Fall.
Die allgemeine Regel lautet also: Bei geradem Exponenten folgt Achsensymmetrie, bei ungeradem Exponenten Punktsymmetrie.