Kapitel 8: Funktionen (S. 105)
Aufgabe 1
(a) Es ist klar, dass man für jeden Euro zu einem Zeitpunkt immer denselben Betrag in Pfund erhält. Bei Währungskäufen gibt es schließlich keinen Mengenrabatt. Die entsprechende Funktion muss also linear sein.
Du kannst dir das auch so überlegen: Für einen Euro erhältst du 0,88 britische Pfund. Für zwei Euro entsprechend 1,76 Pfund, usw. Insgesamt gilt also die Formel \( W_P = 0,88\cdot W_E\), falls \(W_P\) den Betrag in Pfund und \(W_E\) den Betrag in Euro bezeichnet. Du kannst auch sagen, dass \( c(x) = 0,88 x\) gilt. Hierbei ist dann \(x\) der Betrag in Euro und \(c(x)\) der davon abhängige Betrag in Pfund. Hierbei handelt es sich offensichtlich um eine lineare (spezieller: eine proportionale) Funktion.
Eine weitere Variante, um auf den Funktionsterm zu kommen ist folgende: Du weißt, dass du für 100 Euro 88 Pfund erhältst. Für 0 Euro wirst du außerdem garantiert auch 0 Pfund erhalten. Dies kannst du in die Formel \(a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) einsetzen und kommst so auf eine Steigung von \(a = \frac{88-0}{100-0}=0,88\). Daraus folgt dann auch der Term \( c(x) = ax= 0,88 x\).
(b) Mit (a) ergibt sich \(c(145,37)=0,88\cdot 145,37 \approx 127,93\). Du bekommst also 127,93 britische Pfund für 145,37 Euro.
(c) Damit du 150 Pfund erhältst, muss \(150=c(x)=0,88 x\) gelten. Das kannst du zu \(x=\frac{150}{0,88}\approx 170,45\) umstellen. Für 150,00 britische Pfund erhältst du also 170,45 Euro.
Aufgabe 2
(a) Der Funktionsgraph verläuft durch die beiden Punkte \((1|1)\) und \((2|2,5)\). Dies kannst du wieder in die Steigungsformel einsetzen und erhältst \(\frac{2,5-1}{2-1}=\frac{1,5}{1}=\frac{3}{2}\).
Somit wissen wir schon einmal, dass \(g(x)=\frac{3}{2}x+b\) gilt.
Da Die Funktionsgleichung für jeden Punkt des Funktionsgraphen wahr sein muss, kannst du nun einen beliebigen Punkt einsetzen und zu \(b\) umstellen. Nehmen wir z. B. \((1|1)\):
\(1=g(1)=\frac{3}{2}\cdot 1 + b \Leftrightarrow 1-\frac{3}{2}=b \Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}\)Somit gilt \(g(x)=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\).
Die kannst den y-Achsenabschnitt \(b\) aber auch direkt am Graphen ablesen. Es ist die Stelle, wo der Graph die y-Achse schneidet und dies ist erkennbar \(-0,5\).
(b) Hier haben wir die Wertepaare schon auf dem Präsentierteller und können direkt die Steigungsformel verwenden – z. B. für die beiden Punkte \((-0,5|5)\) und \((0,5|7)\):
Dann gilt: \(a = \frac{7-5}{0,5-(-0,5)}=\frac{2}{1}=2\).
Somit gilt für \(g(x)=2x+b\).
Hier setzen wir den zweiten Punkt ein: \(7=g(0,5)=2\cdot 0,5+b \Leftrightarrow b=6\).
Insgesamt erhalten wir also \(g(x)=2x+6\).
(c) Das folgende Punktepaar kann man z. B. gut ablesen: \((0|1,5)\) und \((1,5|1)\). Das geben wir wieder in die Steigungsformel und erhalten \(a = \frac{1-1,5}{1,5-0}=\frac{-0,5}{1,5}=-\frac{1}{3}\). Außerdem kann man den y-Achsenabschnitt \(b=1,5=\frac{3}{2}\) direkt ablesen. Damit erhalten wir \(i(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{3}{2}\).