Kapitel 8: Funktionen (S. 122)

Aufgabe 1

Schau dir noch einmal die Definition auf S. 102 an. Eine Funktion ordnet also jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Die Werte der Definitionsmenge trägt man an der x-, die Werte der Zielmenge an der y-Achse des Koordinatensystems ab. Bei den Funktion \(f\), \(g\) und \(h\) gibt es hier keine Probleme, so dass es sich um Funktionen handelt. \(i\) stellt jedoch keine Funktion dar, da z. B. für den x-Wert 0 mehrere Werte zugewiesen werden, nämlich ungefähr 1 und -1. Es hätte jedoch nur genau einer und eben nicht zwei sein dürfen.

Aufgabe 2

Alle Funktionen außer trigonometrische Funktionen sind auch Polynomfunktionen.
Jede konstante Funktion ist auch eine lineare Funktion.
Lineare und quadratische Funktionen sind auch Potenzfunktionen, falls sie die y-Achse bei 0 schneiden, d. h., falls keine konstante Zahl am Ende mehr addiert wird.
Polynomfunktionen sind Summen von Potenzfunktionen.

Aufgabe 3

Um die Nullstellen zu bestimmen, musst du jeweils gleich null setzen. Es entstehen somit jeweils quadratische Gleichungen, für die du eigentlich die p-q-Formel oder quadratische Ergänzung benötigst (S. 64). In diesem Fall kannst du dir das aber sparen, da die Gleichungen bereits in der entsprechenden Form sind, so dass du direkt die Wurzel ziehen kannst:

(a) \((x-2)^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)^2=3\) \(\Leftrightarrow x-2=\pm \sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{3}+2\) oder \(x=-\sqrt{3}+2\)

Dies kannst du dir auch so vorstellen: Der Graph der Funktion \(f\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, um drei Einheiten nach unten und zwei Einheiten nach rechts verschoben. Wenn die Normalparabel um drei Einheiten nach unten verschoben wird, werden die Stellen an denen vorher der Wert 3 angenommen wurde zu Nullstellen. Da \(x^2\) für \(\sqrt{3}\) und \(-\sqrt{3}\) den Wert 3 annimmt, wären dies nun die neuen Nullstellen. Wir müssen aber noch die Verschiebung nach rechts berücksichtigen, bei der sich die Nullstellen einfach mit verschieben. Heraus kommen die Werte \(x=\sqrt{3}+2\) und \(x=-\sqrt{3}+2\).

(b) \((x+3)^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow (x+3)^2=-1\) \(\Leftrightarrow x+3=\pm(-1)\)

\(\Leftrightarrow x=+(-1)-3=-4\) oder \(x=-(-1)-3=-2\)

Der Term \(x^2\) nimmt für die Werte -1 und 1 den Wert 1 an. Der Graph von \(g\) ist eine um eine Einheit nach oben und drei Einheiten nach links verschobene Normalparabel, so dass -1 und 1 (bis auf die seitliche Verschiebung) die Nullstellen von \(g\) wären. Denken wir diese auch noch mit, ergibt sich ebenfalls \(x=-1-3=-4\) und \(x=1-3=-2\)

\(2x^2-1=0\) \(\Leftrightarrow 2x^2=1\) \(\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\) oder \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Auch hier kannst du dir das Ganze wieder am Graphen vorstellen: Es handelt sich um eine entlang der y-Achse um den Faktor 2 gestreckte Normalparabel, die noch um eine Einheit nach unten verschoben wird. Durch das Strecken verdoppeln sich alle Werte, so dass uns interessiert, wo die Normalparabel den Wert \(\frac{1}{2}\) annimmt, damit dieser beim Verdoppeln zu 1 und beim anschließenden Verschieben zu 0 wird. Dies ist gerade für \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\) und \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) der Fall, so dass dies die Nullstellen sein müssen.

Aufgabe 4

Dies ist dazu gleichbedeutend, ob die entsprechende Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen besitzt.

Die Normalparabel \(f(x)=x^2\) hat bekanntlich nur im Scheitelpunkt eine Nullstelle, so dass dies ein einfaches Beispiel für eine quadratische Funktion mit genau einer Nullstelle darstellt. Verschiebt man sie um eine Einheit nach unten, ergeben sich wieder zwei Nullstellen. Verschiebt man sie um eine Einheit nach oben, hat sie gar keine Nullstelle mehr. D.h. mögliche Funktionen sind \(g(x)=x^2-1\) bzw. \(h(x)=x^2+1\)

Aufgabe 5

Hier gibt es natürlich beliebig viele unterschiedliche Lösungen. Wie immer, sollte man möglichst einfach vorgehen und die Sache nicht unnötig verkomplizieren.

Wir wählen zunächst eine trigonometrische Funktion, z. B. den Cosinus. Dieser hat bei 0 und bei \(2\pi\) den Wert 1.

Die Gesamtfunktion soll stetig sein – also keine Lücken aufweisen.

Exponentialfunktionen ohne Vorfaktor, also z. B. \(2^x\) nehmen bei 0 auch stets den Wert 1 an, so dass es gut passt, wenn diese links des Cosinus definiert wird.

Auch die quadratische Funktion \(x^2+1\) nimmt bei 0 den Wert 1 an. Wenn wir sie um \(2\pi\) nach rechts verschieben, kann man sie als Teil der Funktion rechts vom Cosinus definieren.

Insgesamt erhalten wir also:

\(f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2^x & x<0\\\cos(x) & 0\le x \le 2\pi\\(x-2\pi)^2+1 & x>2\pi\\\end{array}\right.\)

Aufgabe 6

Auch hier sollte man nicht zu kompliziert denken. Mathematik ist oft die Kunst einfach zu denken, so dass es sich fast schon dreist anfühlt, eine Aufgabe so zu lösen:

(a) Die Normalparabel \(f(x)=x^2\) ist überall größer oder gleich 0. Also ist die konstante (und somit auch lineare) Funktion \(g(x)=-2\) stets unterhalb des Graphens von \(f\), so dass auch kein Schnittpunkt existiert. Jede andere negative Zahl hätte es hier auch getan.

(b) Hierfür setzen wir \(g(x)=0\), so dass sich die beiden Funktionen nur im Punkt \((0|0)\) schneiden.

(c) Hier kann man z. B. \(g(x)=2\) nutzen oder auch jede andere positive Zahl. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat, ergeben sich so stets zwei Schnittpunkte.

Aufgabe 7

Der Sinus nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an, so dass die Funktion auch hier entsprechend beschränkt ist. Wenn man nur die Funktion \(g(x)=\frac{1}{x}\) betrachtet, werden die Werte immer schneller immer größer, je näher man sich 0 annähert (da die 1 ja durch eine immer kleiner werdende Zahl geteilt wird). Setzt man dies in den Sinus ein, wird die Periode des Sinus (also alle Werte, die einen Abstand von \(2\pi\) haben) immer schneller durchlaufen, so dass die Schwingungen immer größer werden, je näher man die Gesamtfunktion bei 0 betrachtet.