Kapitel 7: Satz des Pythagoras und Trigonometrie (S. 97)

Aufgabe 1

Die fehlenden Größen erhalten wir durch Umstellen der Gleichungen aus dem Kosinussatz:

(a) Es ist

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)\\&\;\Longleftrightarrow\;c=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)}=\sqrt{\left(7\,\text{cm}\right)^2+\left(9\,\text{cm}\,\right)^2-2\cdot7\,\text{cm}\cdot9\,\text{cm}\cdot\cos(70^{\circ})}\approx9,32\,\text{cm}\,.\end{align*}\)

Außerdem folgt

\(\begin{align*}&b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\beta)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}\right)\approx\arccos\left(\frac{(7\,\text{cm})^2+(9,32\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2}{2\cdot7\,\text{cm}\,\cdot9,32\,\text{cm}}\right)\approx65,14^{\circ}\end{align*}\)

und schließlich erhalten wir mit der Innenwinkelsumme:

\(\alpha=180^{\circ}-\beta-\gamma\approx180^{\circ}-65,14^{\circ}-70^{\circ}=44,86^{\circ}\,.\)

(b) Zunächst erhalten wir

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\beta)\\&\;\Longleftrightarrow\;b=\sqrt{a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\beta)}=\sqrt{\left(6\,\text{dm}\right)^2+\left(2,5\,\text{dm}\,\right)^2-2\cdot6\,\text{dm}\cdot2,5\,\text{dm}\cdot\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)}\approx7,19\,\text{dm}\,.\end{align*}\)

Außerdem ist

\(\begin{align*}&c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}\right)\approx\arccos\left(\frac{(6\,\text{dm})^2+(7,19\,\text{dm})^2-(2,5\,\text{dm})^2}{2\cdot6\,\text{dm}\,\cdot7,19\,\text{dm}}\right)\approx0,11\,\pi\end{align*}\)

und schließlich erhalten wir mit der Innenwinkelsumme:

\(\alpha=\pi-\beta-\gamma\approx\pi-\frac{2}{3}\pi-0,11\,\pi\approx0,22\,\pi\,.\)

(c) Wir stellen zunächst nach \(\gamma\) um:

\(\begin{align*}&c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}\right)\approx\arccos\left(\frac{(8\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2-(7\,\text{cm})^2}{2\cdot8\,\text{cm}\,\cdot9\,\text{cm}}\right)\approx48,19^{\circ}\,.\end{align*}\)

Außerdem folgt

\(\begin{align*}&b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\beta)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}\right)\approx\arccos\left(\frac{(8\,\text{cm})^2+(7\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2}{2\cdot8\,\text{cm}\,\cdot7\,\text{cm}}\right)\approx73,4^{\circ}\end{align*}\)

und schließlich erhalten wir mit der Innenwinkelsumme:

\(\alpha=180^{\circ}-\beta-\gamma\approx180^{\circ}-73,4^{\circ}-48,19^{\circ}=58,41^{\circ}\,.\)

Aufgabe 2

Da sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren (die entstehenden Dreiecke sind deckungsgleich), liefert der Kosinussatz für die Seiten \(a\) und \(b\):

\(\begin{align*} a^2&=\left(\frac{e}{2}\right)^{2}+\left(\frac{f}{2}\right)^2-2\cdot \left(\frac{e}{2}\right)\cdot \left(\frac{f}{2}\right)\cdot\cos(\epsilon)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;a=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (e^2+f^2)-\frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot\cos(\epsilon)}\\&\hspace{0.5cm}\phantom{\;\Longleftrightarrow\;\;a}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\left((144\,\text{cm})^2+(76\,\text{cm})^2\right)-\frac{1}{2}\cdot144\,\text{cm}\cdot76\,\text{cm}\cdot\cos(72^{\circ})}\approx109,18\,\text{cm}\\b^2&=\left(\frac{e}{2}\right)^{2}+\left(\frac{f}{2}\right)^2-2\cdot \left(\frac{e}{2}\right)\cdot \left(\frac{f}{2}\right)\cdot\cos(180^{\circ}-\epsilon)\\&\hspace{0.5cm}\;\Longleftrightarrow\;b=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (e^2+f^2)-\frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot\cos(180^{\circ}-\epsilon)}\\&\hspace{0.5cm}\phantom{\;\Longleftrightarrow\;\;b}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\left((144\,\text{cm})^2+(76\,\text{cm})^2\right)-\frac{1}{2}\cdot144\,\text{cm}\cdot76\,\text{cm}\cdot\cos(108^{\circ})}\approx67,63\,\text{cm}\,.\end{align*}\)