Kapitel 7: Satz des Pythagoras und Trigonometrie (S. 85)

Aufgabe 1

Da die Hypothenuse immer gegenüber des rechten Winkels liegt, ist in diesem Dreieck y die Hypothenuse. Damit lautet der Satz des Pythagoras hier \(y^2=x^2+z^2\) und damit erhalten wir durch Umstellen:

(1) \(z=\sqrt{y^2-x^2}=\sqrt{(13\,\text{cm})^2-(5\,\text{cm})^2}=\sqrt{144\,\text{cm}^2}=12\,\text{cm}\,,\)

(2) \(y=\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{(3\,\text{m})^2+(4,5\,\text{m})^2}=\sqrt{29,25\,\text{m}^2}\approx5,41\,\text{m}\,,\)

(3) \(x=\sqrt{y^2-z^2}=\sqrt{(1,55\,\text{m})^2-(0,9\,\text{m})^2}=\sqrt{1,5925\,\text{m}^2}\approx1,26\,\text{m}\,,\)

(4) \(z=\sqrt{y^2-x^2}=\sqrt{(3,6\,\text{cm})^2-(2,4\,\text{cm})^2}=\sqrt{7,2\,\text{cm}^2}\approx2,68\,\text{cm}\,,\)

(4) \(z=\sqrt{y^2-x^2}=\sqrt{(150\,\text{m})^2-(120\,\text{m})^2}=\sqrt{8100\,\text{m}^2}=90\,\text{m}\,.\)

Aufgabe 2

(a) Das geht zum Beispiel mit:

(1) \(a\approx2\,\text{cm}\,,\;b\approx11,83\,\text{cm}\)

(2) \(a\approx8,95\,\text{cm}\,,\;b\approx8\,\text{cm}\)

(3) \(a\approx4,8\,\text{cm}\,,\;b\approx11\,\text{cm}\)

(b) Da die Diagonal zusammen mit a und b ein rechtwinkliges Dreieck bildet, gilt hier natürlich auch der Satz des Pythagoras. Damit ist dann gerade \((12\,\text{cm})^2=a^2+b^2\) und durch Umstellen nach a folgt:

\(a=\sqrt{144\,\text{cm}^2-b^2}\,.\)