Kapitel 6: Bruchterme und -gleichungen (S. 80)

Aufgabe 1

(a) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}=\{\,(r,s)\,|\,r\neq s\,,\;r\neq-s\,\}\)

\( \begin{align*} &\hspace{-0.5cm}\frac{r}{2\cdot(r+s)}-\frac{s}{3\cdot(r-s)}+\frac{r}{r-s}\cdot\frac{s}{s+r}\\&=\frac{r\cdot(r-s)\cdot 3}{2\cdot(r+s)\cdot(r-s)\cdot3}-\frac{s\cdot(r+s)\cdot2}{3\cdot(r-s)\cdot(r+s)\cdot2}+\frac{r\cdot s}{(r-s)\cdot(r+s)}\\&=\frac{3r^2-3rs}{6\cdot(r+s)\cdot(r-s)}-\frac{2rs+2s^2}{6\cdot(r-s)\cdot(r+s)}+\frac{6rs}{6\cdot(r-s)\cdot(r+s)}\\&=\frac{3r^2-3rs-(2rs+2s^2)+6rs}{6\cdot(r-s)\cdot(r+s)}\\&=\frac{3r^2+rs-2s^2}{6\cdot(r-s)\cdot(r+s)}\\&=\frac{(r+s)\cdot(3r-2s)}{6\cdot(r-s)\cdot(r+s)}\\&=\frac{3r-2s}{6\cdot(r-s)}\end{align*}\)

(b) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}=\displaystyle\left\{\,(x,y)\;\Bigg|\;x\neq-\frac{5}{2}\,,\;x\neq -2\,,\;x\neq0\,,\;x\neq y\,\right\}\)

\( \begin{align*} &\hspace{-0.5cm}\frac{6x+11}{2x+4}-\frac{x^2-xy}{x^3+2x^2}:\frac{x-y}{2x+5}-3\\&=\frac{6x+11}{2\cdot(x+2)}-\frac{x\cdot(x-y)}{x^2\cdot(x+2)}\cdot\frac{2x+5}{x-y}-3\\&=\frac{6x+11}{2\cdot(x+2)}-\frac{x\cdot(2x+5)}{x^2\cdot(x+2)}-3\\&=\frac{(6x+11)\cdot x^2}{2\cdot(x+2)\cdot x^2}-\frac{x\cdot(2x+5)\cdot2}{x^2\cdot(x+2)\cdot 2}-\frac{3\cdot2\cdot x^2\cdot(x+2)}{2\cdot x^2\cdot(x+2)}\\&=\frac{6x^3+11x^2}{2x^2\cdot(x+2)}-\frac{4x^2+10x}{2x^2\cdot(x+2)}-\frac{6x^3+12x^2}{2x^2\cdot(x+2)}\\&=\frac{6x^3+11x^2-(4x^2+10x)-(6x^3+12x^2)}{2x^2\cdot(x+2)}\\&=\frac{-5x^2-10x}{2x^2\cdot(x+2)}\\&=\frac{-5x\cdot(x+2)}{2x^2\cdot(x+2)}\\&=-\frac{5}{2x}\end{align*}\)

\( \begin{align*} &\hspace{-0.5cm}\frac{y-z}{x^2+xz}-\frac{x-y}{xz+z^2}+\frac{x^2+y^2}{x^2z+xz^2}\\&=\frac{y-z}{x\cdot(x+z)}-\frac{x-y}{z\cdot(x+z)}+\frac{x^2+y^2}{xz\cdot(x+z)}\\&=\frac{(y-z)\cdot z}{x\cdot(x+z)\cdot z}-\frac{(x-y)\cdot x}{z\cdot(x+z)\cdot x}+\frac{x^2+y^2}{xz\cdot(x+z)}\\&=\frac{yz-z^2}{xz\cdot(x+z)}-\frac{x^2-xy}{xz\cdot(x+z)}+\frac{x^2+y^2}{xz\cdot(x+z)}\\&=\frac{yz-z^2-(x^2-xy)+x^2+y^2}{xz\cdot(x+z)}\\&=\frac{y^2+yz+xy-z^2}{xz\cdot(x+z)}\end{align*}\)

Aufgabe 2

(a) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}=\displaystyle\left\{\,a\;\Bigg|\;a\neq-\frac{2}{3}\,,\;a\neq-8\,\right\}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{3}{2+3a}+\frac{4}{8+a}&=2\qquad&&|\;\cdot(2+3a)\\&\Longleftrightarrow\quad&3+\frac{4}{8+a}\cdot(2+3a)&=2\cdot(2+3a)\qquad&&|\;\cdot(8+a)\\ &\Longleftrightarrow\quad&3\cdot(8+a)+4\cdot(2+3a)&=2\cdot(2+3a)\cdot(8+a)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&15a+32&=2\cdot(3a^2+26a+16)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&15a+32&=6a^2+52a+32\qquad&&|\;-15a-32\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=6a^2+37a\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=a\cdot(6a+37)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a=0\;&\vee\;6a+37=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a=0\;&\vee\;a=-\frac{37}{6}\qquad&&\end{alignat*}\)

Da beide Ergebnisse in der Definitionsmenge liegen erhalten wir:

\(\mathbb{L}=\displaystyle\left\{-\frac{37}{6}\,,\;0\right\}\,.\)

(b) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}=\{\,y\,|\,y\neq2\,\}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{y}{y-2}-\frac{1}{2}&=\frac{3}{2y-4}\qquad&&|\;\cdot(2y-4)\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{y}{y-2}\cdot(2y-4)-\frac{1}{2}\cdot(2y-4)&=3\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{y}{y-2}\cdot2\cdot(y-2)-\frac{1}{2}\cdot2\cdot(y-2)&=3\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&2y-(y-2)&=3\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&y+2&=3\qquad&&|\;-2\\&\Longleftrightarrow\quad&y&=1\qquad&&\end{alignat*}\)

Da das Ergebnis in der Definitionsmenge liegt erhalten wir:

\(\mathbb{L}=\displaystyle\left\{1\right\}\,.\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{x^2}{x^2-1}-\frac{x-1}{x+1}&=\frac{1-2x}{1-x^2}\qquad&&|\;\cdot(x^2-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{x-1}{x+1}\cdot(x^2-1)&=\frac{1-2x}{1-x^2}\cdot(x^2-1)\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{x-1}{x+1}\cdot(x+1)\cdot(x-1)&=\frac{1-2x}{-(x^2-1)}\cdot(x^2-1)\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&x^2-(x-1)\cdot(x-1)&=\frac{1-2x}{-1}\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&x^2-(x-1)^2&=2x-1\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-(x^2-2x+1)&=2x-1\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&2x-1&=2x-1\qquad&&|\;-2x+1\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=0\qquad&&\end{alignat*}\)

Wir erhalten eine wahre Aussage und somit ist die Gleichung für alle Elemente der Definitionsmenge erfüllt, d.h. \(\mathbb{L}=\mathbb{D}\,.\)

(d) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}=\{\,u\,|\,u\neq-2\,,\;u\neq-\sqrt{2}\,,\;u\neq\sqrt{2}\,\}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{3u-3}{u+2}+3&=4-\frac{u-3}{2u^2-4}\qquad&&|\;-3\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{3u-3}{u+2}&=1-\frac{u-3}{2u^2-4}\qquad&&|\;\cdot(2u^2-4)\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{3u-3}{u+2}\cdot(2u^2-4)&=2u^2-4-(u-3)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{3u-3}{u+2}\cdot(2u^2-4)&=(2u+1)\cdot(u-1)\qquad&&|\;\cdot(u+2)\\&\Longleftrightarrow\quad&(3u-3)\cdot(2u^2-4)&=(2u+1)\cdot(u-1)\cdot(u+2)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(u-1)\cdot 3\cdot(2u^2-4)&=(u-1)\cdot(2u+1)\cdot(u+2)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(u-1)\cdot(6u^2-12)&=(u-1)\cdot(2u^2+5u+2)\qquad&&|\;-(u-1)\cdot(6u^2-12)\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=(u-1)\cdot(2u^2+5u+2)-(u-1)\cdot(6u^2-12)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=(u-1)\cdot[(2u^2+5u+2)-(6u^2-12)]\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=(u-1)\cdot(-4u^2+5u+14)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&u=1\;&\vee\;-4u^2+5u+14=0\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&u=1\;&\vee\;u^2-\frac{5}{4}u-\frac{7}{2}=0\qquad&&|\;\,\text{p-q-Formel}\\ &\Longleftrightarrow\quad&u=1\;&\vee\;u=\frac{5}{8}\pm\sqrt{\left(-\frac{5}{8}\right)^2+\frac{7}{2}}\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&u=1\;&\vee\;u=\frac{5}{8}\pm\frac{\sqrt{249}}{8}\qquad&&\end{alignat*}\)

Entsprechend erhalten wir

\(\mathbb{L}=\displaystyle\left\{\,\frac{5-\sqrt{249}}{8}\,,\;1\,,\;\frac{5+\sqrt{249}}{8}\right\}\,.\)

Aufgabe 3

(a) Es ist:

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}+R_{2}}\\&\Longrightarrow1=\frac{R_{ges}}{R_{1}}+\frac{R_{ges}}{R_{2}}+\frac{R_{ges}}{R_{1}+R_{2}}\\&\Longrightarrow R_{1}=R_{ges}+\frac{R_{ges}}{R_{2}}\cdot R_{1}+\frac{R_{ges}}{R_{1}+R_{2}}\cdot R_{1}\\&\Longrightarrow R_{1}\cdot R_{2}=R_{ges}\cdot R_{2}+R_{ges}\cdot R_{1}+\frac{R_{ges}}{R_{1}+R_{2}}\cdot R_{1}\cdot R_{2}\\&\Longrightarrow R_{1}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})=R_{ges}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})+R_{ges}\cdot R_{1}\cdot(R_{1}+R_{2})+R_{ges}\cdot R_{1}\cdot R_{2}\\&\Longrightarrow R_{1}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})=R_{ges}\cdot \Big(R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})+ R_{1}\cdot(R_{1}+R_{2})+R_{1}\cdot R_{2}\Big)\\&\Longrightarrow R_{1}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})=R_{ges}\cdot \Big((R_{1}+R_{2})\cdot(R_{2}+R_{1})+R_{1}\cdot R_{2}\Big)\\&\Longrightarrow R_{1}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})=R_{ges}\cdot \Big((R_{1}+R_{2})^2+R_{1}\cdot R_{2}\Big)\\&\Longrightarrow \frac{R_{1}\cdot R_{2}\cdot(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^2+R_{1}\cdot R_{2}}=R_{ges}\end{align*}\)

(b) Es ist:

\(\begin{align*} &\hspace{-0.5cm}\frac{\theta_{m}-\theta_{1}}{c_{2}\cdot m_{2}}=\frac{\theta_{m}-\theta_{2}}{c_{1}\cdot m_{1}}\\ &\Longrightarrow (\theta_{m}-\theta_{1})\cdot c_{1}\cdot m_{1}=(\theta_{m}-\theta_{2})\cdot c_{2}\cdot m_{2}\\ &\Longrightarrow \theta_{m}\cdot c_{1}\cdot m_{1}-\theta_{1}\cdot c_{1}\cdot m_{1}=\theta_{m}\cdot c_{2}\cdot m_{2}-\theta_{2}\cdot c_{2}\cdot m_{2}\\ &\Longrightarrow \theta_{m}\cdot c_{1}\cdot m_{1}-\theta_{m}\cdot c_{2}\cdot m_{2}=\theta_{1}\cdot c_{1}\cdot m_{1}-\theta_{2}\cdot c_{2}\cdot m_{2}\\ &\Longrightarrow \theta_{m}\cdot (c_{1}\cdot m_{1}-c_{2}\cdot m_{2})=\theta_{1}\cdot c_{1}\cdot m_{1}-\theta_{2}\cdot c_{2}\cdot m_{2}\\ &\Longrightarrow \theta_{m}=\frac{\theta_{1}\cdot c_{1}\cdot m_{1}-\theta_{2}\cdot c_{2}\cdot m_{2}}{c_{1}\cdot m_{1}-\cdot c_{2}\cdot m_{2}}\end{align*}\)

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}F_{L}=\frac{1-H\cdot\mu}{1+h\cdot\mu}\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2\\ &\Longrightarrow F_{L}\cdot\big(1+h\cdot\mu\big)=\big(1-H\cdot\mu\big)\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2\\ &\Longrightarrow F_{L}+F_{L}\cdot h\cdot\mu=F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2-H\cdot\mu\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2\\ &\Longrightarrow F_{L}\cdot h\cdot\mu+H\cdot\mu\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2=F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2-F_{L}\\ &\Longrightarrow \mu\cdot\left(F_{L}\cdot h+H\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2\right)=F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2-F_{L}\\ &\Longrightarrow \mu=\frac{F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2-F_{L}}{F_{L}\cdot h+H\cdot F_{k}\cdot\left(\frac{D}{d}\right)^2}\end{align*}\)

Aufgabe 4

(a) Es ist:

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\\ &\Longrightarrow\frac{1}{f}-\frac{1}{g}=\frac{1}{b}\\ &\Longrightarrow\frac{g}{f\cdot g}-\frac{f}{f\cdot g}=\frac{1}{b}\\ &\Longrightarrow\frac{g-f}{f\cdot g}=\frac{1}{b}\\&\Longrightarrow\frac{g-f}{f\cdot g}\cdot b=1\\&\Longrightarrow b=\frac{f\cdot g}{g-f}\end{align*}\)

(b) Mit Aufgabenteil (a) erhalten wir für die Bildweite \(b\) gerade

\(\begin{align*}b=\frac{g\cdot f}{g-f}=\frac{1,4\,m\cdot 0,4\,m}{1,4\,m-0,4\,m}=0,56\,m\,.\end{align*}\)

Der Schirm muss also 0,56\,m hinter der Linse aufgestellt werden.

\(\displaystyle B=\frac{1}{2}\cdot G\) und damit auch \(\displaystyle b=\frac{1}{2}\cdot g\).

Da zudem \(f=0,2\) ist müssen wir also mit Aufgabenteil (a) die Gleichung

\(\frac{g\cdot 0,2}{g-0,2}=\frac{1}{2}\cdot g\)

lösen. Die Definitionsmenge dieser Gleichung ist gerade \(\mathbb{D}=\{\,g\,|\,g\neq0,2\,\}.\) Wir erhalten

\(\begin{alignat*}{2} &&\frac{0,2\cdot g}{g-0,2}&=\frac{g}{2}\qquad&&|\;\cdot(g-0,2)\\ &\Longleftrightarrow\quad&0,2\cdot g&=\frac{g}{2}\cdot(g-0,2)\qquad&&|\;\cdot2\\ &\Longleftrightarrow\quad&0,4\cdot g&=g\cdot(g-0,2)\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&0,4\cdot g&=g^2-0,2\cdot g\qquad&&|\;-0,4\cdot g\\ &\Longleftrightarrow\quad&0&=g^2-0,6\cdot g\qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&0&=g\cdot(g-0,6)\qquad\\ &\Longleftrightarrow\quad&g=0\;&\vee\;g=0,6\,.&&\end{alignat*}\)

Beide Lösungen liegen in der Definitionsmenge, sind also aus mathematischer Sicht zulässig. Aus physikalischer Sicht macht aber \(g=0\) keinen Sinn, da wir in diesem Fall den Gegenstand an den Platz der Linse stellen müssten. Folglich müssen wir den Gegenstand \(g=0,6\,m=60\,cm\) vor der Linse platzieren und da die Bildweite nur halb so groß wie die Gegenstandsweite ist, folgt \(b=0,3\,m=30\,cm\,.\)