Kapitel 6: Bruchterme und -gleichungen (S. 78)
Aufgabe 1
(a) Die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung ist
\(\mathbb{D}=\{\,a\,|\,a\neq 1\,\}\,.\)
Multiplizieren wir nun beide Seiten mit \(a-1\) (beide Seiten enthalten die gleichen Nenner) erhalten wir
\(\begin{align*}\frac{3a^2}{a-1}-3a=\frac{3}{a-1}+2\;&\Longleftrightarrow\;3a^2-3a(a-1)=3+2(a-1)\\\;&\Longleftrightarrow\;3a=2a+1\\\;&\Longleftrightarrow\;a=1\,.\end{align*}\)Da aber 1 nicht in der Definitionsmenge der Bruchgleichung liegt, gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also gerade leer:
\(\mathbb{L}=\{\;\;\}\,.\)
(b) Hier ist die Definitionsmenge gerade
\(\mathbb{D}=\{\,a\,|\,a\neq -1\,,\;a\neq1\,\}\,.\)
Wir multiplizieren mit den Nennern durch, d.h. wir multiplizieren mit $(a+1)$ und auch mit $(a-1)$ um die Gleichung „bruchfrei“ zu bekommen:
\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a-1}&=\frac{3}{a-1}-1\qquad&&|\;\cdot(a+1)\\&\Longleftrightarrow\quad&a+\frac{2}{a-1}\cdot(a+1)&=\frac{3}{a-1}\cdot(a+1)-1\cdot(a+1)\qquad&&|\;\cdot(a-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&a\cdot(a-1)+2\cdot(a+1)&=3\cdot(a+1)-1\cdot(a-1)\cdot(a+1)\quad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2+a+2&=3a+3-(a^2-1)\quad&&|\;+a^2-3a-4\\&\Longleftrightarrow\quad&2a^2-2a-2&=0\quad&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2-a-1&=0\quad&&|\;\,\text{p-q-Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&a_{1,2}&=1\pm\sqrt{(-1)^2+1}\quad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a_{1}=1-\sqrt{2}\;&\vee a_{2}=1+\sqrt{2}\quad&&\end{alignat*}\)Da beide Lösungen in der Definitionsmenge liegen ist somit
\(\mathbb{L}=\{1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\}\,.\)
Aufgabe 2
Wegen
\(\mathbb{D}=\displaystyle\left\{\,x\;\Big|\;x\neq\frac{4}{3}\,\right\}\)
und
\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{2}{3x-4}-\frac{1}{20}&=\frac{5}{6x-8}\qquad&&|\;\cdot(6x-8)\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{2}{3x-4}\cdot(6x-8)-\frac{1}{20}\cdot(6x-8)&=5\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{2}{3x-4}\cdot2\cdot(3x-4)-\frac{1}{20}\cdot(6x-8)&=5\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&4-\frac{1}{20}\cdot(6x-8)&=5\qquad&&|\;\cdot20\\&\Longleftrightarrow\quad&80-(6x-8)&=100\qquad&&|\;-80\\&\Longleftrightarrow\quad&-6x+8&=20\qquad&&|\;-8\\&\Longleftrightarrow\quad&-6x&=12\qquad&&|\;:(-6)\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-2\qquad&&\end{alignat*}\)ist
\(\mathbb{L}=\{-2\}\,.\)
Aufgabe 3
Hier hat sich leider der Fehlerteufel eingeschlichen. In Wirklichkeit sollte der Term die Gestalt
\(\displaystyle\frac{2+y}{y-1}=\frac{3+2y}{2y+1}-1\)
haben. Dann ist die Definitionsmenge gerade
\(\mathbb{D}=\displaystyle\left\{\,y\;|\;y\neq-\frac{1}{2}\,,\;y\neq1\,\right\}\)
und
\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{2+y}{y-1}&=\frac{3+2y}{2y+1}-1&&|\;\cdot(y-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&2+y&=\frac{3+2y}{2y+1}\cdot (y-1)-1\cdot(y-1)\qquad&&|\;\cdot(2y+1)\\&\Longleftrightarrow\quad&(2+y)\cdot(2y+1)&=(3+2y)\cdot(y-1)-1\cdot(y-1)\cdot(2y+1)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&2y^2+5y+2&=2y^2+y-3-(2y^2-y-1) \qquad&&\\ &\Longleftrightarrow\quad&2y^2+5y+2&=2y-2\qquad&&|\;-2y+2\\&\Longleftrightarrow\quad&2y^2+3y+4&=0\qquad&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&y^2+\frac{3}{2}y+2&=0\qquad&&|\;\,\text{p-q-Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&y_{1,2}&=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2-2}\qquad&&\end{alignat*}\)Leider ist der Term unter der Wurzel aber negativ, d.h.
\(\mathbb{L}=\{\;\;\}\,.\)
Aufgabe 4
Für die Definitionsmenge erhalten wir wegen
\(a^2-1=0\;\Longleftrightarrow\;a^2=1\;\Longleftrightarrow\;a=1\;\vee\;a=-1\,,\)
gerade
\(\mathbb{D}=\{\,a\,|\,a\neq-1\,,\;a\neq 1\}\,.\)
Außerdem ist
\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{a^2}{a^2-1}-\frac{a-1}{a+1}&=\frac{1-2a}{1-a^2}\qquad&&|\;\cdot(a^2-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2-\frac{a-1}{a+1}\cdot(a^2-1)&=\frac{1-2a}{1-a^2}\cdot(a^2-1)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2-\frac{a-1}{a+1}\cdot(a+1)\cdot(a-1)&=\frac{1-2a}{-(a^2-1)}\cdot(a^2-1)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2-(a-1)\cdot(a-1)&=\frac{1-2a}{-1}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&a^2-(a^2-2a+1)&=2a-1&&|\;-2a+1\\&\Longleftrightarrow\quad&0&=0&&\end{alignat*}\)Wir haben also gezeigt, dass die Gleichung genau dann gilt, wenn \( 0=0\) gilt und da das natürlich immer gilt, ist die Gleichung also für alle \(a\) erfüllt, für die sie definiert ist, d.h.
\(\mathbb{L}=\mathbb{D}\,.\)