Kapitel 6: Bruchterme und -gleichungen (S. 77)
Aufgabe 1
Bevor wir Umformen notieren wir zunächst die Definitionsmenge. Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Nenners. Wegen
\( \begin{align*}x^2-1=0\,&\Longleftrightarrow\,(x-1)\cdot(x+1)=0\\\,&\Longleftrightarrow\,x=1\text{ oder }x=-1\end{align*}\)
ist die Definitionsmenge gerade
\( \mathbb{D}=\{\,x\,|\,x\neq-1\,,\;x\neq0\,,\;x\neq1\,\}\)
Vereinfachen wir den Term jetzt, erhalten wir
\(\begin{align*}\displaystyle\frac{3x+9}{x^2-1}:\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2}{x}&=\frac{3x+9}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{2x+4}-\frac{2}{x}\\&=\frac{3x+9}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{2(x+2)}-\frac{2}{x}\\&=\frac{3x+9}{2(x-1)(x+2)}-\frac{2}{x}\\&=\frac{3x^2+9x}{2x(x-1)(x+2)}-\frac{4(x-1)(x+2)}{2x(x-1)(x+2)}\\&=\frac{3x^2+9x-4(x-1)(x+2)}{2x(x-1)(x+2)}\\&=\frac{3x^2+9x-(4x^2+4x-8)}{2x(x-1)(x+2)}=\frac{-x^2+5x-8}{2x(x-1)(x+2)}\,.\end{align*}\)Die Definitionsmenge dieses Terms ist aber gerade
\(\mathbb{D}=\{\,x\,|\,x\neq-2\,,\;x\neq0\,,\;x\neq1\,\}\,.\)
Aufgabe 2
Die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung ist
\( \mathbb{D}=\{\,x\,|\,x\neq-3\text{ und }x\neq 0\,\}\,.\)
Bringen wir nun beide Seiten auf den gleichen Nenner, folgt:
\(\begin{align*}\displaystyle\frac{2}{5x+15}-\frac{1}{x}=\frac{3}{5}\;&\Longleftrightarrow\;\frac{2}{5(x+3)}-\frac{1}{x}=\frac{3}{5}\\\;&\Longleftrightarrow\;\frac{2x}{5x(x+3)}-\frac{5(x+3)}{5x(x+3)}=\frac{3x(x+3)}{5x(x+3)}\\\;&\Longleftrightarrow\;\frac{-3x-15}{5x(x+3)}=\frac{3x^2+9x}{5x(x+3)}\,.\end{align*}\)Vergleichen wir nun die Zähler, muss \(-3x-15=3x^2+9x\) sein. Wir müssen also eine quadratische Gleichung lösen. Mit der p-q-Formel (siehe Kapitel 5) folgt:
\(\begin{alignat*}{2}&&-3x-15&=3x^2+9x\\ &\Longleftrightarrow\qquad&\;x^2+4x+5&=0\\ &\Longleftrightarrow\qquad&x_{1,2}&=-2\pm\sqrt{2^2-5}\end{alignat*}\)Da wir aber die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen können (die Diskriminante ist ja gerade \(2^2-5=-1\)), gibt es hier keine Lösung, also \(\mathbb{L}=\{\;\,\}\,.\)
Aufgabe 3
Die Definitionsmenge der Bruchgleichung ist
\(\mathbb{D}=\{\,x\,|\,x\neq-3\,\}\,.\)
Bringen wir nun beide Seiten auf den gleichen Nenner, erhalten wir
\(\begin{align*} \frac{2x^2+5x-3}{x+3}=\frac{x-4}{2}&\;\Longleftrightarrow\frac{4x^2+10x-6}{2(x+3)}=\frac{(x-4)(x+3)}{2(x+3)}\\&\;\Longleftrightarrow\frac{4x^2+10x-6}{2(x+3)}=\frac{x^2-x-12}{2(x+3)}\end{align*}\,.\)Vergleichen wir nun die Zähler, muss \(4x^2+10x-6=x^2-x-12\) sein. Mit der p-q-Formel (siehe Kapitel 5) folgt:
\(\begin{alignat*}{2}&&4x^2+10x-6&=x^2-x-12\\ &\Longleftrightarrow\qquad&\;3x^2+11x+6&=0\\ &\Longleftrightarrow\qquad&\;x^2+\frac{11}{3}x+2&=0\\ &\Longleftrightarrow\qquad&\;x_{1,2}&=-\frac{11}{6}\pm\sqrt{\left(\frac{11}{6}\right)^2-2}\\&\Longleftrightarrow\qquad&\;x_{1,2}&=-\frac{11}{6}\pm\sqrt{\frac{121}{36}-\frac{72}{36}}\\&\Longleftrightarrow\qquad&\;x_{1,2}&=-\frac{11}{6}\pm\sqrt{\frac{49}{36}}\\&\Longleftrightarrow\qquad&x_{1,2}&=-\frac{11}{6}\pm\frac{7}{6}\\&\Longleftrightarrow\qquad&x_{1}&=-3\text{ oder }x_{2}=-\frac{2}{3}\end{alignat*}\)Da aber \(x_{1}\) nicht in der Definitionsmenge liegt, ist \(x_{2}\) die einzige Lösung und wir erhalten:
\(\mathbb{L}=\displaystyle\left\{\,-\frac{2}{3}\,\right\}\,.\)