Kapitel 6: Bruchterme und -gleichungen (S. 75)

Aufgabe 1

Für den Definitionsbereich müssen wir hier alle Zahlen ausschließen, für die der Nenner den Wert Null annimmt. Wegen \(36x^2-16x=4x\cdot(9x-4)\) sind das gerade die beiden Zahlen \(0\) und \(\displaystyle\frac{4}{9}\). Entsprechend ist die Definitionsmenge

\(\mathbb{D}=\left\{\,x\,\;\Bigg|\,\;x\neq 0 \text{ und }\displaystyle x\neq\frac{4}{9}\,\right\}\,.\)

Aufgabe 2

Auch hier müssen wir die Nullstellen der Nenner ausschließen. Da

\(2x+4=0\,\Longleftrightarrow\,x=-2\)

und

\( y^2+3y=0\,\Longleftrightarrow\,y\cdot(y+3)=0\)\(\,\Longleftrightarrow y=0 \text{ oder }y=-3\)

folgt:

\( \mathbb{D}=\{\,(x,y)\,|\,x\neq-2\text{ und }y\neq 0,\;y\neq-3\,\}\,.\)

Aufgabe 3

(a) Gesucht ist also ein Term für den 5 eine Nullstelle des Nenners ist. Dafür gibt es natürlich viele Möglichkeiten. Einige Beispiele sind:

\(\displaystyle\frac{1}{x-5}\,,\quad\frac{x-3}{x-5}\,\quad\frac{4x^2-3x+4}{3x-15}\,,\quad\ldots\)

(b) Es müssen also \(y=3\) und \(x=1\) Nullstellen des Nenners sein. Auch dafür gibt es natürlich viele Beispiele. Einige sind:

\(\displaystyle\frac{x+5-y}{(x+1)(y-3)}\,,\quad\frac{1}{(y^3-3y^2+3y-9)(x+1)}\,,\quad\frac{3y}{x+1}+\frac{2x}{y-3}\,,\quad\ldots\)