Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 70)

Aufgabe 1

(a) Mit einfachen Äquivalenzumformungen folgt:

\(\begin{alignat*}{3}&&3x+17&=5x-4\qquad&&|\;-3x+4\\&\Longleftrightarrow\quad&21&=2x\qquad&&|\;:2&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{21}{2}&=x\,.&&\end{alignat*}\)

(b) Mit der p-q-Formel erhalten wir:

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-6x+20&=60\qquad&&|\;-60\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-6x-40&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-(-40)}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=3\pm\sqrt{49}&&\\&\Longleftrightarrow x=-4\;\,&\vee\;\,x=10\,.\qquad&&\end{alignat*}\)

\(\begin{alignat*}{3}&&6x-4x^2&=3\cdot(2x-3)\qquad&&|\;\text{ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&-2x\cdot(2x-3)&=3\cdot(2x-3)\qquad&&|\;-3\cdot(2x-3)\\&\Longleftrightarrow\quad&-2x\cdot(2x-3)-3\cdot(2x-3)&=0\qquad&&|\;(2x-3)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(2x-3)\cdot(-2x-3)&=0&&|\;\text{Produkt ist null, wenn…}\\&\Longleftrightarrow\quad &2x-3=0\;\,&\vee\;\,-2x-3=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=\frac{3}{2}\;\,&\vee\;\,x=-\frac{3}{2}\,.&&\end{alignat*}\)

(d) Auch die binomischen Formeln sind hilfreich:

\(\begin{alignat*}{3}&&4\cdot(x-2)\cdot(x+2)&=x^2-4\qquad&&|\;3.\text{ bin. Formeln}\\&\Longleftrightarrow\quad&4\cdot(x^2-4)&=x^2-4\qquad&&|\;-(x^2-4)\\&\Longleftrightarrow\quad&3\cdot(x^2-4)&=0\qquad&&|\;:3\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4&=0&&|\;+4\\&\Longleftrightarrow\quad &x^2&=4\qquad&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&x=2\;\,&\vee\;\,x=-2\,.&&\end{alignat*}\)

(e) Ohne „clevere Idee“ fängt man einfach mal an:

\(\begin{alignat*}{3}&&(x-1)\cdot(x-10)+10&=x-15&&|\;\text{ausmultiplizieren}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-x-10x+10+10&=x-15\qquad&&|\;-x+15\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-12x+35&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{12}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-12}{2}\right)^2-35}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad &x&=6\pm1\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=5\;\,&\vee\;\,x=7\,.&&\end{alignat*}\)

(f) Dezimalzahlen sind auch kein Problem:

\(\begin{alignat*}{3}&&2,6(x-2)&=-5,5(x+3)-0,5(x-6)\qquad&&|\;\text{ausmultiplizieren}\\&\Longleftrightarrow\quad&2,6x-5,2&=-5,5x-16,5-0,5x+3\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&2,6x-5,2&=-6x-13,5\qquad&&|\;+5,2+6x\\&\Longleftrightarrow\quad&8,6x&=-8,3\qquad&&|\;:8,6\\&\Longleftrightarrow\quad &x&=-\frac{83}{86}\qquad\,.&&\end{alignat*}\)

(g) Auch hier bietet sich Ausklammern an:

\(\begin{alignat*}{3}&&2(x-1)(x+3)&=3(x+3)&&|\;-3(x+3)\\&\Longleftrightarrow\quad&2(x-1)(x+3)-3(x+3)&=0\qquad&&|\;(x+3)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+3)\cdot\big[2(x-1)-3\big]&=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+3)\cdot(2x-5)&=0&&|\;\text{Produkt ist null, wenn…}\\&\Longleftrightarrow\quad&x=-3\;\,&\vee\;\,2x-5=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=-3\;\,&\vee\;\,x=2,5\,.&&\end{alignat*}\)

(h) Zum Schluss noch einmal die p-q-Formel:

\(\begin{alignat*}{3}&&-x^2+14x+15&=0&&|\;\cdot(-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-14x-15&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=7\pm\sqrt{(-7)^2+15}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=7\pm8\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=-1\;\,&\vee\;\,x=15\,.&&\end{alignat*}\)

Aufgabe 2

Nenne wir die Strecke, die die Wandergruppe am ersten Tag zurücklegt \(s_{1}\) und die Strecke vom zweiten Tag \(s_{2}\). Dann ist die Gesamtstrecke gerade \(s_{1}=s_{2}\) und nach Aufgabenstellung gilt:

\(\begin{align*}\left\{\begin{aligned}s_{1}&=\frac{1}{3}\cdot(s_{1}+s_{2})+4\\s_{2}&=\frac{1}{2}\cdot(s_{1}+s_{2})+2\end{aligned}\right.\;\Longleftrightarrow\;\left\{\begin{aligned}s_{1}&=\frac{1}{3}s_{1}+\frac{1}{3}s_{2}+4\\s_{2}&=\frac{1}{2}s_{1}+\frac{1}{2}s_{2}+2\end{aligned}\right.\;\Longleftrightarrow\;\left\{\begin{aligned}\frac{2}{3}s_{1}-\frac{1}{3}s_{2}&=4\\\frac{1}{2}s_{2}-\frac{1}{2}s_{1}&=2\end{aligned}\right.\end{align*}\)

Zur Lösung der Aufgabe müssen wir also das Gleichungssystem

\(\begin{array}{rcrcr}\frac{2}{3}s_{1}&-&\frac{1}{3}s_{2}&=&4\\-\frac{1}{2}s_{1}&+&\frac{1}{2}s_{2}&=&2\end{array}\)

lösen. Dazu lösen wir die zweite Gleichung nach \(s_{1}\) auf

\(-\frac{1}{2}s_{1}+\frac{1}{2}s_{2}=2\;\Longleftrightarrow\;s_{1}-s_{2}=-4\;\Longleftrightarrow\;s_{1}=-4+s_{2}\)

und setzen das Ergebnis in die erste Gleichung ein. Wir erhalten:

\(\begin{align*}\frac{2}{3}\cdot\left(-4+s_{2}\right)-\frac{1}{3}s_{2}=4&\;\Longleftrightarrow\;-\frac{8}{3}+\frac{1}{3}s_{2}=4\\&\;\Longleftrightarrow\;\frac{1}{3}s_{2}=\frac{20}{3}\;\Longleftrightarrow\;s_{2}=20\end{align*}\)

Setzen wir nun das Ergebnis in die nach \(s_{1}\) aufgelöste erste Gleichung ein, folgt:

\(s_{1}=-4+20=16\,.\)

Damit legt die Wandergruppe insgesamt einen Weg von

\(s_{1}+s_{2}=16+20=36\)

Kilometern zurück.

Aufgabe 3

Wir müssen, wie auf Seite 66 beschrieben, die Gleichungen passend ergänzen:

(a) Da

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-2x+y^2+4y&=11\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2\cdot x\cdot 1+y^2+2\cdot y\cdot 2&=11\qquad&&|\;+1^2+2^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2x+1^2+y^2+4y+2^2&=16&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-1)^2+(y+2)^2&=4^2\,,&&\end{alignat*}\)

ist der Mittelpunkt \(M(1|-2)\) und der Radius \(r=4\).

(b) Mit

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2+y^2+y&=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-0)^2+y^2+2\cdot y\cdot\frac{1}{2}&=0\qquad&&\Big|\;+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-0)^2+y^2+y+\left(\frac{1}{2}\right)^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-0)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2\,,&&\end{alignat*}\)

ist der Mittelpunkt \(M(0|-\frac{1}{2})\) und der Radius \(r=\frac{1}{2}\).

(c) Hier hat sich der Fehlerteufel bemerkbar gemacht. Auch vor dem \(y^2\) sollte \(\frac{1}{4}\) stehen. Dann folgt wegen

\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2&=x+8\qquad&&|\;-x\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{1}{4}x^2-x+\frac{1}{4}y^2&=8\qquad&&\Big|\;\cdot 4\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2\cdot x\cdot 2+y^2&=32\qquad&&\Big|\;+2^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x+2^2+y^2&=36&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)^2+\left(y-0\right)^2&=6^2\,,&&\end{alignat*}\)

für den Mittelpunkt \(M(2|0)\) und der Radius ist \(r=6\).

(d) Auch hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen. Zum eine sollte das \(y^2\) nicht im Nenner stehen und zum anderen sollte statt dem Bruch vor \(x^2\) gerade 1,5 stehen. Dann folgt:

\(\begin{alignat*}{3}&&1,5x^2+\frac{3}{2}y^2+6y+37,5&=15x-6\qquad&&|\;-15x-37,5\\&\Longleftrightarrow\quad&1,5x^2-15x+\frac{3}{2}y^2+6y&=-43,5\qquad&&\Big|\;\cdot \frac{2}{3}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2x\cdot 5+y^2+2\cdot y\cdot 2&=-29\qquad&&\Big|\;+5^2+2^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-10x+5^2+y^2+4y+2^2&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-5)^2+\left(y+2\right)^2&=0\,,&&\end{alignat*}\)

also ist der Mittelpunkt \(M(5|-2)\) und der Radius \(r=0\).

Aufgabe 4

(a) Setzen wir die Gleichung der Geraden ein, erhalten wir:

\(\begin{alignat*}{3}&&(x-2)^2+\big(1-(x-2)\big)^2&=4\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)^2+(3-x)^2&=4\qquad&&|\;\text{ausmultiplizieren}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x+4+9-6x+x^2&=4\qquad&&|\;-4\\&\Longleftrightarrow\quad&2x^2-10x+9&=0\qquad&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-5x+\frac{9}{2}&=0\qquad&&\Big|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-\frac{9}{2}}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{7}{4}}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=\frac{5-\sqrt{7}}{2}\;\,&\vee\;\,\frac{5+\sqrt{7}}{2}\,.&&\end{alignat*}\)

Setzen wir die gefundenen Werte in die Geradengleichung ein, folgt

\(y=\frac{5-\sqrt{7}}{2}-2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\quad\text{und}\quad y=\frac{5+\sqrt{7}}{2}-2=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\,,\)

d.h. die Gerade ist eine Sekante mit den beiden Schnittpunkten \(S_{1}\left(\frac{5-\sqrt{7}}{2}\Big|\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)\) und \(S_{2}\left(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\Big|\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right).\)

(b) Wir lösen die Geradengleichung nach \(x\) auf

\(2y=x+3\;\Longleftrightarrow\;x=2y-3\,,\)

und setzen in die Kreisgleichung ein:

\(\begin{alignat*}{3}&&\big((2y-3)-2\big)^2+(1-y)^2&=4\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad& (2y-5)^2+(1-y)^2&=4\qquad&&|\;\text{ausmultiplizieren}\\&\Longleftrightarrow\quad&4y^2-40y+25+1-2y+y^2&=4\qquad&&|\;-4\\&\Longleftrightarrow\quad&5y^2-42y+22&=0\qquad&&|\;:5\\&\Longleftrightarrow\quad&y^2-\frac{42}{5}y+\frac{22}{5}&=0\qquad&&\Big|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&y&=\frac{21}{5}\pm\sqrt{\left(-\frac{21}{5}\right)^2-\frac{22}{5}}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&y&=\frac{21}{5}\pm\sqrt{\frac{331}{25}}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&y=\frac{21-\sqrt{331}}{5}\;\,&\vee\;\,y=\frac{21+\sqrt{331}}{5}\,.&&\end{alignat*}\)

Die Gerade ist also eine Sekante und mit

\(x=2\cdot\frac{21-\sqrt{331}}{5}-3=\frac{27-2\sqrt{331}}{5}\quad\text{und}\quad x=2\cdot\frac{21+\sqrt{331}}{5}-3=\frac{27+2\sqrt{331}}{5}\)

sind die Schnittpunkte gerade \(S_{1}\left(\frac{21-\sqrt{331}}{5}\Big|\frac{27-2\sqrt{331}}{5}\right)\) und \(S_{2}\left(\frac{21+\sqrt{331}}{5}\Big|\frac{27+2\sqrt{331}}{5}\right)\).

\(\begin{alignat*}{3}&&(x-2)^2+(1+3)^2&=4\qquad&&|\;-4^2\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)^2&=-12\,,&&\end{alignat*}\)

und da ein Quadrat stets nichtnegativ ist, kann diese Gleichung keine Lösung haben. Entsprechend ist die Gerade eine Passante und es gibt keine Schnittpunkte.

(d) Wir lösen die Geradengleichung nach \(y\) auf

\(y+2=-x\;\Longleftrightarrow\;y=-x-2\)

und setzen in die Kreisgleichung ein:

\(\begin{alignat*}{3}&&(x-2)^2+\big(1-(-x-2)\big)^2&=4\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)^2+(3+x)^2&=4\qquad&&|\;\text{ausmultiplizieren}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x+4+9+6x+x^2&=4\qquad&&|\;-4\\&\Longleftrightarrow\quad&2x^2+2x+9&=0\qquad&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-x+\frac{9}{2}&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2}}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{17}{4}}\,.&&\end{alignat*}\)

Da wir Wurzeln aus einer negativen Zahl nicht ziehen können, hat auch diese Gleichung keine Lösung und somit ist auch diese Gerade eine Passante für den Kreis.

Aufgabe 5

(a) Stellen wir zum Beispiel die zweite Gleichung nach \(x\) um, folgt

\(3x+3y=9\;\Longleftrightarrow\;x+y=3\;\Longleftrightarrow\;x=3-y\,.\)

Das setzen wir in die erste Gleichung ein und bekommen:

\(\begin{align*}6\cdot(3-y)+12y=30&\;\Longleftrightarrow\;18+6y=30\\&\;\Longleftrightarrow\;3+y=5\;\Longleftrightarrow\;y=2\,.\end{align*}\)

Eingesetzt in die nach \(x\) umgestellte zweite Gleichung, erhalten wir schließlich:

\(x=3-2=1\,.\)

(b) Lösen wir die erste Gleichung nach \(y\) auf

\(2x+y=1\;\Longleftrightarrow\;y=1-2x\,,\)

und setzen in die zweite Gleichung ein, folgt:

\(\begin{align*}5x+4\cdot(1-2x)=3&\;\Longleftrightarrow\;-3x+4=3\\&\;\Longleftrightarrow\;-3x=-1\;\Longleftrightarrow\;x=\frac{1}{3}\,.\end{align*}\)

Setzen wir dieses Ergebnis in die nach \(y\) umgestellte Gleichung ein, erhalten wir

\(\displaystyle y=1-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\,.\)

(c) Bei Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen ist das Einsetzungsverfahren schnell unübersichtlich. Daher empfiehlt sich hier eher das Additionsverfahren. Wir addieren das Doppelte der ersten Gleichung zur zweiten und das Vierfache der ersten Gleichung zur dritten. Es folgt:

\(\begin{array}{lcrcrcrcr}(\text{I})&&2x&-&3y&+&z&=&10\\(\text{II‘})&&5x&-&5y&&&=&14\\(\text{III‘})&&11x&-&13y&&&=&35\\\hline(\text{I})&&2x&-&3y&+&z&=&10\\(\text{II“})=(\text{II‘}):5&&x&-&y&&&=&2,8\\(\text{III‘})&&11x&-&13y&&&=&35\\\hline(\text{I})&&2x&-&3y&+&z&=&10\\(\text{II“})&&x&+&y&&&=&2,8\\(\text{III‘})-11(\text{III“})&&&-&2y&&&=&4,2\end{array}\)

Damit ist \(y=-2,1\) und eingesetzt in Gleichung \((\text{II“})\) erhalten wir

\(x-(-2,1)=2,8\;\Longleftrightarrow\;x=0,7\,,\)

und schließlich nach Einsetzen beider Lösungen in Gleichung \((\text{I})\)

\(2\cdot0,7-3\cdot(-2,1)+z=10\;\Longleftrightarrow\;7,5+z=10\;\Longleftrightarrow\;z=2,5\,.\)

(d) Wir addieren zunächst das Vierfache der ersten Gleichung zur zweiten und das Fünffache der ersten zur dritten Gleichung:

\(\begin{array}{lcrcrcrcr}(\text{I})&&-x&+&y&+&z&=&0\\(\text{II‘})&&&&y&+&2z&=&5\\(\text{III‘})&&&&6y&+&9z&=&3\\\hline(\text{I})&&-x&+&y&+&z&=&0\\(\text{II‘})&&&&y&+&2z&=&5\\(\text{III“})=(\text{III‘}):3&&&&2y&+&3z&=&1\\\hline(\text{I})&&-x&+&y&+&z&=&0\\(\text{II“})&&&&y&+&2z&=&5\\(\text{III“})-2(\text{II‘})&&&&&-&z&=&-9\end{array}\)

Also ist \(z=9\) und mit Einsetzen in Gleichung \((\text{II“})\) erhalten wir,

\(y+2\cdot9=5\;\Longleftrightarrow\;y+18=5;\Longleftrightarrow\;y=-13\)

und schließlich durch Einsetzen beider Lösungen in die erste Gleichung:

\(-x+(-13)+9=0\;\Longleftrightarrow\;-x-4=0\;\Longleftrightarrow\;x=-4\,.\)