Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 69)

Aufgabe 1

(a) Lösen wir zum Beispiel die zweite Gleichung nach \(y\) auf, erhalten wir

\(\begin{align*}3x+2y=9\;\Longleftrightarrow\;2y=9-3x\;\Longleftrightarrow\;y=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}x\,.\end{align*}\)

Setzen wir das in die erste Gleichung ein, folgt:

\(\begin{align*}4x-2y=5&\;\Longleftrightarrow\;4x-2\cdot\left(\frac{9}{2}-\frac{3}{2}x\right)=5\\&\;\Longleftrightarrow\;4x-9+3x=5\\&\;\Longleftrightarrow\;7x=14\;\Longleftrightarrow\;x=2\,.\end{align*}\)

Das Ergebnis setzen wir nun wieder in die nach \(y\) aufgelöste zweite Gleichung ein und bekommen

\(\begin{align*}y=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\cdot 2=\frac{3}{2}\,.\end{align*}\)

Damit ist das Gleichungssystem also lösbar und die Lösung gerade \(x=2\) und \(y=\frac{3}{2}\).

(b) Beim zweiten Gleichungssystem lösen wir zum Beispiel die erste Gleichung nach \(y\) auf. Wir erhalten

\(\begin{align*}-\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{4}\;\Longleftrightarrow\;\frac{3}{4}y=-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}x\;\Longleftrightarrow\;y=-\frac{1}{3}+2x\,,\end{align*}\)

und durch Einsetzen in die zweite Gleichung

\(\begin{align*}\frac{1}{2}x-\frac{5}{6}y=-\frac{2}{3}&\;\Longleftrightarrow\;\frac{1}{2}x-\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{1}{3}+2x\right)=-\frac{2}{3}\\&\;\Longleftrightarrow\;\frac{1}{2}x+\frac{5}{18}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}\\&\;\Longleftrightarrow\;-\frac{7}{6}x=-\frac{17}{18}\;\Longleftrightarrow\;x=\frac{17}{21}\,.\end{align*}\)

Das Ergebnis setzen wir in die nach \(y\) aufgelöste erste Gleichung ein und bekommen

\(\begin{align*}y=-\frac{1}{3}+2\cdot\frac{17}{21}=-\frac{9}{7}\,.\end{align*}\)

Aufgabe 2

(a) Wir erweitern zunächst die zweite Gleichung mit 5 (damit die Vorfaktoren der Unbekannten y übereinstimmen) und addieren dann die erste zur zweiten Gleichung:

\(\begin{align*}&\;\;\begin{array}{lcrcrcr}(\text{I})&&2x&-&5y&=&-6\\(\text{II‘})&&-15x&+&5y&=&-20\\[3pt]\hline(\text{I})+(\text{II‘})&&-13x&&&=&-26\end{array}\end{align*}\)

Die letzte Gleichung liefert also \(x=2\) und setzen wir dies nun in Gleichung \((\text{I})\) ein, folgt

\(2\cdot2-5y=-6\;\Longleftrightarrow\;4-5y=-6\;\Longleftrightarrow\;-5y=-10\;\Longleftrightarrow\;y=2\,.\)

(b) Wir beginnen damit in der zweiten und dritten Gleichung das \(z\) zu eliminieren. Dafür addieren wir die erste Gleichung zu beiden dazu:

\(\begin{align*}&\;\;\begin{array}{lcrcrcrcr}(\text{I})&&-x&+&7y&-&z&=&5\\(\text{II})&&4x&-&y&+&z&=&1\\(\text{III})&&5x&-&3y&+&z&=&-1\\[3pt]\hline(\text{II})+(\text{I})&&3x&+&6y&&&=&6\\(\text{III})+(\text{I})&&4x&+&4y&&&=&4\end{array}\end{align*}\)

Es entsteht ein Gleichungssystem mit nur noch zwei Gleichungen. Bei diesem teilen wir die erste Gleichung durch 3, die zweite Gleichung durch -4 und addieren sie anschließend:

\(\begin{align*}&\;\;\begin{array}{lcrcrcr}(\text{I‘})&&3x&+&6y&=&6\\(\text{II‘})&&4x&+&4y&=&4\\\hline(\text{I“})&&x&+&2y&=&2\\(\text{II“})&&-x&+&-y&=&-1\\[3pt]\hline(\text{I“})+(\text{II“})&&&&y&=&1\end{array}\end{align*}\)

Damit ist \(y=1\) und setzen wir dies nun in die Gleichung \((\text{I“})\) ein, erhalten wir

\(x+2\cdot1=2\;\Longleftrightarrow\;x+2=2\;\Longleftrightarrow\;x=0\,.\)

Schließlich setzen wir noch \(x\) und \(y\) in die Gleichung \((\text{I})\) ein. Wir erhalten

\(-0+7\cdot1-z=5\;\Longleftrightarrow\;7-z=2\;\Longleftrightarrow\;z=5\,.\)