Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 65)

Aufgabe 1

(a) \(\underline{\text{- mit quadratischer Ergänzung:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&x^2+3&=-4x\qquad&&|\;+4x-3\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+4x&=-3&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+2\cdot x\cdot 2&=-3&&|\;+2^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+4x+4&=1&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+2)^2&=1&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&|x+2|&=1&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x+2=1\;\,&\vee\;\,x+2=-1\\&\Longleftrightarrow\quad&x=-1\;\,&\vee\;\,x=-3&&\end{alignat*}\)

\(\underline{\text{- mit p-q-Formel:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&x^2+3&=-4x\qquad&&|\;+4x\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+4x+3&=0&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x_{1,2}&=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x_{1,2}&=-2\pm\sqrt{1}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=-1\;\,&\vee\;\,x=-3&&\\\end{alignat*}\)

(b) \(\underline{\text{- mit quadratischer Ergänzung:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&x^2+5x&=2x-4\qquad&&|\;-2x\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+3x&=-4&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+2\cdot x\cdot \frac{3}{2}&=-4&&\Big|\;+\left(\frac{3}{2}\right)^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2&=-4+\left(\frac{3}{2}\right)^2&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(x+\frac{3}{2}\right)^2&=-\frac{7}{4}&&\end{alignat*}\)

Da ein Quadrat stets positiv ist, können wir aus der letzten Zeile sofort folgern, dass die Gleichung keine Lösung hat.

\(\underline{\text{- mit p-q-Formel:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&x^2+5x&=2x-4\qquad&&|\;-2x+4\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+3x+4&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-4}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{-\frac{7}{4}}\,.&&\end{alignat*}\)

Da sich aus einer negativen Zahl auch keine Wurzel ziehen lässt, bestätigt die \(p-q-\)Formel unser Ergebnis von oben.

(c) \(\underline{\text{- mit quadratischer Ergänzung:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{3}{2}x^2-8x+9&=5-3x\qquad&&|\;+3x-9\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{3}{2}x^2-5x&=-4&&|\;\cdot\frac{2}{3}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{10}{3}\cdot x&=-\frac{8}{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2\cdot x\cdot\frac{5}{3}&=-\frac{8}{3}&&\Big|\;+\left(\frac{5}{3}\right)^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^2&=-\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^2&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(x-\frac{5}{3}\right)^2&=\frac{1}{9}&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&\left|x-\frac{5}{3}\right|=\frac{1}{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}\;\,&\vee\;\,x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=2\;\,&\vee\;\,x=\frac{4}{3}&&\end{alignat*}\)

\(\underline{\text{- mit p-q-Formel:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{3}{2}x^2-8x+9&=5-3x\qquad&&|\;+3x-5\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{3}{2}x^2-5x+4&=0&&|\;\cdot\frac{2}{3}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{10}{3}\cdot x+\frac{8}{3}&=0&&\Big|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{-5}{3}\pm\sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{8}{3}}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=\frac{5}{3}\pm\frac{1}{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=2\;\,&\vee\;\,x=\frac{4}{3}&&\end{alignat*}\)

(d) \(\underline{\text{- mit quadratischer Ergänzung:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x&=7\qquad&&|\;\cdot 3\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x&=21&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-2\cdot x\cdot 2&=21&&|\;+2^2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x+4&=25&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(x-2\right)^2&=25&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&\left|x-2\right|=5&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x-2=5\;\,&\vee\;\,x-2=-5&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=7\;\,&\vee\;\,x=-3&&\end{alignat*}\)

\(\underline{\text{- mit p-q-Formel:}}\)

\(\begin{alignat*}{3} &&\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x&=7\qquad&&|\;\cdot 3\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x&=21&&|\;-21\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x-21&=0&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{-4}{2}\right)^2+21}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=2\pm5&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x=7\;\,&\vee\;\,x=-3&&\end{alignat*}\)

Aufgabe 2

Versuchen wir die Gleichung zu lösen, erhalten wir in Abhängigkeit von \(\gamma\):

\(\begin{alignat*}{3}&&3x^2+\gamma x-\frac{9}{2}&=0\qquad&&\Big|\;:3\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+\frac{\gamma}{3}\cdot x-\frac{3}{2}&=0&&\Big|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{\gamma}{6}\pm\sqrt{\left(\frac{\gamma}{6}\right)^2+\frac{3}{2}}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{\gamma}{6}\pm\sqrt{\frac{\gamma^2+48}{6}}&&\end{alignat*}\)

Damit hat die Gleichung immer zwei Lösungen, da die Diskriminante \(\mathcal{D}=\frac{\gamma^2+48}{6}\) für jedes \(\gamma\) positiv ist.