Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 63)

Aufgabe 1

Zur Lösung dieser Aufgaben nutzen wir aus, dass ein Produkt zweier Faktoren genau dann null ist, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Damit folgt:

(a)

\(\begin{alignat*}{3}&&3x^2-2x&=(3x-2)\cdot(x+1)\qquad&&|\;x\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&x\cdot(3x-2)&=(3x-2)\cdot(x+1)&&|\;-(3x-2)\cdot(x+1)\\&\Longleftrightarrow\quad&x\cdot(3x-2)-(3x-2)\cdot(x+1)&=0&&|\;(3x-2)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(3x-2)\cdot\big[x-(x+1)\big]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&-(3x-2)&=0&&|\;\cdot(-1)\\&\Longleftrightarrow\quad&3x-2&=0&&|\;+2\\&\Longleftrightarrow\quad&3x&=2&&|\;:3\\&\Longleftrightarrow\quad& x&=\frac{2}{3}\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\mathbb{L}=\left\{\frac{2}{3}\right\}\,.\)

(b) Mit der zweiten binomischen Formel folgt

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-2x+1&=0\qquad&&|\;2.\text{ bin. Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-1)^2&=0&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&x-1&=0&&|\;+1\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=1\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\mathbb{L}=\{1\}.\)

(c)

\(\begin{alignat*}{3}&&(x-3)\cdot(2x+1)&=(x-3)\cdot(2-2x)\qquad&&|\;-(x-3)\cdot(2-2x)\\&\Longleftrightarrow\quad&x\cdot(x-3)\cdot(2x+1)-(x-3)\cdot(2-2x)&=0&&|\;(x-3)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-3)\cdot\big[(2x+1)-(2-2x)\big]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-3)\cdot[2x+1-2+2x]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-3)\cdot(4x-1)&=0&&\,.\end{alignat*}\)

Die letzte Gleichung ist nun genau dann erfüllt, wenn \(x-3=0\) oder \(4x-1=0\) ist und da

\(\begin{align*}\left\{\begin{aligned}x-3&=0\\[6pt]4x-1&=0\end{aligned}\right.\;\Longleftrightarrow\;\left\{\begin{aligned}x&=3\\[6pt]4x&=1\end{aligned}\right.\;\Longleftrightarrow\;\left\{\begin{aligned}x&=3\\[6pt]x&=\frac{1}{4}\end{aligned}\right.\,,\end{align*}\)

folgt \(\mathbb{L}=\left\{3,\frac{1}{4}\right\}\).

(d)

\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{1}{6}\cdot(x+2)&=(x+2)^2\qquad&&\Big|\;-(x+2)^2\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{1}{6}\cdot(x+2)-(x+2)^2&=0\cdot(x+1)&&\Big|\;(x+2)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+2)\cdot\left[\frac{1}{6}-(x+2)\right]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+2)\cdot\left(-\frac{11}{6}-x\right)&=0\,,&&\end{alignat*}\)

Die letzte Gleichung ist nun genau dann erfüllt, wenn \(x+2=0\) oder \(-\frac{11}{6}-x=0\) ist, wenn also \(x=-2\) oder \(x=-\frac{11}{6}\) ist. Somit folgt

\(\mathbb{L}=\left\{-2,-\frac{11}{6}\right\}\,.\)

Aufgabe 2

(a) Zur Lösung dieser Aufgabe versuchen wir die Gleichung so zu verändern, dass hier eine binomische Formel erkennbar wird. Bei genauerer Betrachtung fällt schnell auf, dass sobald wir den Term auf der rechten Seite auf die linke Seite addieren, tatsächlich eine binomische Formel entsteht :

\(x^2-\frac{4}{3}\cdot x+\frac{4}{9}=x^2-2\cdot x\cdot\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\left(x-\frac{2}{3}\right)^2\,.\)

Es folgt

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-\frac{4}{3}x&=-\frac{4}{9}\qquad&&\Big|\;+\frac{4}{9}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}&=0&&\Big|\;2. \text{ bin. Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(x-\frac{2}{3}\right)^2&=0&&\Big|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&x-\frac{2}{3}&=0&&\Big|\;+\frac{2}{3}\\&\Longleftrightarrow\quad &x&=\frac{2}{3}\,,&&\end{alignat*}\)

und somit \(\mathbb{L}=\left\{\frac{2}{3}\right\}\,.\)

(b) Wir gehen ähnlich wie in (a) vor. Holen wir den Term von der rechten Seite auf die linke, erhalten wir tatsächlich direkt eine binomische Formel, denn

\(4x^2+4x+1=(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=(2x+1)^2\,.\)

Wir erhalten:

\(\begin{alignat*}{3}&&4x^2+1&=-4x\qquad&&|\;+4x\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+4x+1&=0&&|\;1. \text{ bin. Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(2x+1\right)^2&=0&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad&2x+1&=0&&|\;-1\\&\Longleftrightarrow\quad &2x&=-1&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{1}{2}\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\mathbb{L}=\left\{-\frac{1}{2}\right\}\).

(c) Bei genauerem Hinsehen, erkennen wir auf der linken Seite bereits die dritte binomische Formel, da

\(x^2-4=x^2-2^2=(x-2)\cdot(x+2)\,.\)

Damit folgt:

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-4&=(3x-1)\cdot(x+2)\qquad&&|\;3.\text{ bin. Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)\cdot(x+2)&=(3x-1)\cdot(x+2)&&|\;-(3x-1)\cdot(x+2)\\&\Longleftrightarrow\quad&(x-2)\cdot(x+2)-(3x-1)\cdot(x+2)&=0&&|\;(x+2)\text{ ausklammern}\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+2)\cdot\big[(x-2)-(3x-1)\big]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&(x+2)\cdot\big[-2x-1\big]&=0&&\end{alignat*}\)

Die letzte Gleichung ist nun genau dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist, d.h. wenn \(x=-2\) oder \(x=-\frac{1}{2}\) gilt.

Es folgt also \(\mathbb{L}=\{-2, -\frac{1}{2}\}\,.\)