Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 61)

Aufgabe 1

(a) Es ist:

\(\begin{alignat*}{3}&&8x+13&=5x+22\qquad&&|\;-5x-13\\&\Longleftrightarrow\quad&3x&=9&&|\;:3\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=3\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\mathbb{L}=\{3\}\,.\)

(b) Es ist:

\(\begin{alignat*}{3}&&-x+7&=1-4x\qquad&&|\;+4x-7\\&\Longleftrightarrow\quad&3x&=-6&&|\;:3\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-2\,,&&\end{alignat*}\)

\also \(\mathbb{L}=\{-2\}\,.\)

(c) Es ist:

\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{2}{5}x+\frac{1}{2}&=\frac{7}{10}x+\frac{3}{10}\qquad&&|\;-\frac{7}{10}x-\frac{1}{2}\\&\Longleftrightarrow\quad&-\frac{3}{10}x&=-\frac{2}{10}&&|\;\cdot\left(-\frac{10}{3}\right)\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=\frac{2}{3}\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\displaystyle \mathbb{L}=\left\{\frac{2}{3}\right\}\,.\)

(d) Es ist:

\(\begin{alignat*}{3}&&\frac{7}{4}-\frac{2}{9}x&=-\frac{13}{12}x+\frac{1}{36}\qquad&&|\;-\frac{7}{4}+\frac{13}{12}x\\&\Longleftrightarrow\quad&\frac{31}{36}x&=-\frac{62}{36}&&|\;\cdot\frac{36}{31}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-2\,,&&\end{alignat*}\)

also \(\mathbb{L}=\{-2\}\,.\)

Aufgabe 2

(a) Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:

\(\underline{\text{für }x=-3:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad\frac{1}{2}\cdot(-3)^2+\frac{14}{10}\cdot(-3)-\frac{8}{10}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad-\frac{1}{2}\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=-3\text{ ist eine Lösung.}\\\)

\(\displaystyle\underline{\text{für }x=\frac{1}{5}:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2+\frac{14}{10}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)-\frac{8}{10}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad-\frac{1}{2}\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=\frac{1}{5}\text{ ist eine Lösung.}\\\)

\(\underline{\text{für }x=4:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad\frac{1}{2}\cdot4^2+\frac{14}{10}\cdot4-\frac{8}{10}=\frac{64}{5}=12,8\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad-\frac{1}{2}\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=4\text{ ist keine Lösung.}\)

(b) Setzen wir die Werte ein, so folgt:

\(\underline{\text{für }x=-3:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad(-3)^4-3\cdot(-3)^2=54\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad16\cdot(-3)=-48\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=-3\text{ ist keine Lösung.}\\\)

\(\displaystyle\underline{\text{für }x=\frac{1}{5}:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad\left(\frac{1}{5}\right)^4-3\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2=-\frac{74}{625}\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad16\cdot\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{16}{5}\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=\frac{1}{5}\text{ ist keine Lösung.}\\\)

\(\underline{\text{für }x=4:}\qquad\left.\begin{aligned}&\text{linke Seite:}\quad4^4-3\cdot4^2=208\quad\\&\text{rechte Seite:}\quad16\cdot4=64\end{aligned}\right\}\;\Longrightarrow\;x=4\text{ ist keine Lösung.}\)