Kapitel 4: Variablen, Terme, Rechengesetze (S. 56)

Aufgabe 1

Das Quadratsymbol nimmt die Rolle einer allgemeinen Zahl ein, stellt aber Gleichzeitig auch eine Unbekannte dar, da du ja herausfinden solltest, welche Zahl passt.

Aufgabe 2

(a) Kommutativgesetz

(b) Distributivgesetz

Aufgabe 3

Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang. Ist die Kantenlänge \(a\) berechnet sich sein Volumen \(V\) als \(V = a^3 = 216 m^3\). Wenn du nun auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehst, erhältst du \(\sqrt[3]{a^3}=a=\sqrt[3] 216=6\). Die Kantenlänge muss also 6 Meter betragen.

Aufgabe 4

(a) So wie im ersten Schritt vorgegangen wurde, darfst du nur agieren, wenn unter der Wurzel ein Produkt steht. Im Allgemeinen gilt also \(\sqrt[3]{27+y^3} \neq \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{y^3}\). „Im Allgemeinen“ bedeutet hier, dass diese Rechnung in der Regel nicht funktioniert, es aber Ausnahmen geben kann. Z.B. ist die Aussage für den Spezialfall \(y=0\) richtig.

(b) Im zweiten Schritt darfst du das Quadrat nicht direkt auf die beiden Summanden in der Klammer beziehen. Hier hätte man die erste binomische Formel benutzen müssen.

(c) Hier sind direkt zwei Fehler passiert: Im ersten Schritt muss man das Distributivgesetz berücksichtigen, so dass \(a^5\) mit beiden Summanden in der Klammer hätte multipliziert werden müssen. Außerdem ist auch \(\frac{1}{a} + a\) nicht gleich \(\frac{a}{a}\). Diese Rechnung wäre nur richtig, hätte dort nicht \(+\) sondern \(\cdot\) gestanden.

Aufgabe 5

(a) \((x+(x+z))^2=x^2+2x(x+z)+(x+z)^2=x^2+2x^2+2xz+(x^2+2xz+z^2)=4x^2+4xz+z^2\).

Hier wurde also die erste binomische Formel direkt zweimal hintereinander angewendet. Du kannst aber auch schlauer vorgehen, indem du erst in der Klammer zusammenfasst:

\((x+(x+z))^2=(2x+z)^2=4x^2+4xz+z^2\)

Bei beiden Varianten kommt natürlich das Gleiche heraus.

(b) Hier gehen wir direkt den kürzeren weg und fassen erst zusammen:

\((x-(x+z))^2=(x-x-z)^2=(-z)^2=z^2\)

Jetzt benötigst du gar keine binomische Formel mehr.

\((5x+4)(5x-4)=(5x)^2-4^2=25x^2-16\)

(d) Nutze hier die erste binomische Formel in umgekehrter Richtung:

\(4c^2+16cj+16j^2=(2c)^2+2\cdot (2c)\cdot(4j)+(4j)^2 = (2c+4j)^2\)

(e) Hier passt die erste binomische Formel:

\(d^2-(x+1)^2=d^2-(x^2+2x+1)=d^2-x^2-2x-1\)

(f) Und schlussendlich passt hier die dritte binomische Formel:

\((12a-7a)\cdot (12a+7a) = (12a)^2-(7a)^2=144a^2-49a^2=95a^2\)

Aufgabe 6

(a) \(\frac{26\cdot 5^m – 5^m}{5^{m+2}}=\frac{(26-1)\cdot 5^m}{5^{m+2}}=\frac{25}{5^2}=\frac{25}{25}=1\)

(b) \( \frac{(15x^2y^{-3})^{-4}}{(25x^3y^{-6})^{-2}} = \frac{1}{(15x^2y^{-3})^4} \cdot (25x^3y^{-6})^2=\frac{25^2x^6y^{-12}}{15^4x^8y^{-12}}=\frac{25^2}{15^4x^2}=\frac{25^2}{15^2\cdot 15^2}\cdot x^{-2}=\frac{5^2}{3^2\cdot 15^2}\cdot x^{-2}=\frac{1}{9^2} x^{-2} = \frac{1}{81} x^{-2}\)

(d) \(\left(\frac{a^2b}{cd^3}\right)^3 : \left(\frac{ab^2}{c^2d^2}\right)^4 = \left(\frac{a^6b^3}{c^3d^9}\right) : \left(\frac{a^4b^8}{c^8d^8}\right) = \left(\frac{a^6b^3}{c^3d^9}\right) \cdot \left(\frac{c^8d^8}{a^4b^8}\right)=\frac{a^6b^3c^8d^8}{c^3d^9a^4b^8}=\frac{a^2c^5}{b^5d}\)

Aufgabe 7

(a) \(\frac{\sqrt{6}}{6^3}=\frac{6^{\frac{1}{2}}}{6^3}=6^{-\frac{5}{2}}\)

(b) \(\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{2^{-\frac{1}{3}}}}=\sqrt[4]{\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{3}}}}=\sqrt[4]{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{4^{\frac{1}{3}}}=4^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}=4^{\frac{1}{12}}\)

(c) \(\sqrt[5]{\sqrt[3]{\sqrt[1]{81}}}=\sqrt[5]{\sqrt[3]{81}}=\left(81^{\frac{1}{3}}\right)^\frac{1}{5}=81^{\frac{1}{15}}\)

(d) \(\sqrt[100]{2^{10}}=(2^{10})^\frac{1}{100}=2^\frac{1}{10}\)

(e) \(\sqrt[42]{\sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}}+\sqrt[\sqrt{4}]{\frac{2^{2^2}}{\sqrt{7^{\sqrt{5}-\sqrt{5}}}}}}=\sqrt[42]{2+\sqrt[\sqrt{4}]{\frac{2^{2^2}}{\sqrt{7^{0}}}}}=\sqrt[42]{2+\sqrt[\sqrt{4}]{\frac{2^{2^2}}{\sqrt{1}}}}=\sqrt[42]{2+\sqrt[2]{2^{2^2}}}=\sqrt[42]{2+\sqrt[2]{2^4}}=\sqrt[42]{6}=6^{\frac{1}{42}}\)