Kapitel 4: Variablen, Terme, Rechengesetze (S. 51)

Aufgabe 3

(a) \( (g+e)^2 = g^2+2ge+e^2\)

(b) \( (3c+4de)^2=((3c)+(4de))^2=(3c)^2+2(3c)(4de)+(4de)^2=9c+24cde+16de\)

Aufgabe 4

(a) \((g-e)^2=g^2-2ge+e^2\)

(b) \((-2c-7de)^2=(-2c)^2-2(-2c)(7de)+(7de)^2=4c^2+28cde+49d^2e^2\)

Aufgabe 5

(a) \((i-j)(i+j)=(i+j)(i-j)=i^2-j^2\)

(b) \(3(3i-4j)(3i+4j)=3((3i)+(4j))((3i)-(4j))=3((3i)^2-(4j)^2)=3(9i^2-16j^2)=27i^2-48j^2\)

Aufgabe 6

(a) Hier ist die zweite binomische Formel sinnvoll:

\((2a-7b)^2=(2a)^2-2(2a)(7b)+(7b)^2=4a^2-28ab+49b^2\)

(b) Hier kannst du die dritte binomische Formel rückwärts anwenden:

\(7a^2-49c^2=(\sqrt{7}a)^2-(7c)^2=(\sqrt{7}a+7c)(\sqrt{7}a-7c)\)

Natürlich ist der Term dadurch nicht schöner geworden. Eine solche Umformung macht aber manchmal Sinn, z. B. wenn du die Nullstellen eines solchen Terms ermitteln willst. Du kannst jetzt ablesen, dass der Term z. B. zu null wird, wenn \(\sqrt{7}a = 7c\) gilt. Wenn du hier auf beiden Seiten durch \(\sqrt{7}\) teilst, erhältst du: \(a = \sqrt{7}c\). Wenn \(a\) und \(c\) diese Bedingung erfüllen, wird der ganze Term zu null. Probiere es aus!

(c) Hier brauchst du direkt zwei verschiedene binomische Formeln – und diese auch noch mehr als einmal. Wende erst die zweite binomische Formel an:

\((10m-(m+1)^2)^2=(10m)^2-2(10m)(m+1)^2+((m+1)^2)^2=100m^2-20m(m+1)^2+((m+1)^2)^2\)

Rechne also mit \((m+1)^2\) wie mit jeder anderen Variablen. Danach wendest du überall, wo \((m+1)^2\) steht, noch einmal die erste binomische Formel an. Mit dieser gilt: \((m+1)^2=m^2+2m+1^2=m^2+2m+1\).

Somit folgt dann:

\(\begin{align*} & (10m-(m+1)^2)^2\\ &=100m^2-20m(m^2+2m+1)+(m^2+2m+1)^2\\ &=100m^2-20m^3-40m^2-20m+(m^2+2m+1)^2\\ &= -20m^3 + 60m^2 – 20m + (m^2+2m+1)^2\end{align*}\)

Den letzten Teil \((m^2+2m+1)^2\) könntest du jetzt noch einmal mit der ersten binomischen Formel bearbeiten (und danach noch einmal). Einfacher ist es hier dann „alles mit allem“ zu multiplizieren, was übrigens immer auch anstatt einer binomischen Formel geht:

\(\begin{align*}&(m^2+2m+1)^2\\ &=(m^2+2m+1)\cdot (m^2+2m+1)\\ &= m^4+2m^3+m^2+2m^3+4m^2+2m+m^2+2m+1\\ &= m^4+4m^3+6m^2+4m+1 \end{align*}\)

Das kann man jetzt in der obigen Rechnung einsetzen, so dass folgt:

\(\begin{align*} & (10m-(m+1)^2)^2\\ &=-20m^3 + 60m^2 – 20m+(m^2+2m+1)^2\\ &= -20m^3 + 60m^2 – 20m + m^4+4m^3+6m^2+4m+1\\ &= m^4-16m^3+66m^2-16m+1\end{align*}\)

Das ist das Endergebnis. Puh, jetzt erst einmal einen Kaffee…