Kapitel 4: Variablen, Terme, Rechengesetze (S. 47)

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Gleichung, zu der eine Lösung gesucht ist. Hier macht es daher nur Sinn mit Äquivalenzumformungen zu arbeiten, um die Lösungsmenge zu erhalten. Es dürfen daher nur Operationen angewendet werden, wenn sie jeweils auf beiden Seiten der Gleichung erfolgen.

\(\begin{align*}3x-7 &=-2x+8\\\Leftrightarrow 3x &=-2x+15\\\Leftrightarrow 5x &=15\\\Leftrightarrow x &= 3\end{align*}\)

Aufgabe 2

Hier geht es nur um einen einzelnen Term. Äquivalenzumformungen einer ganzen Gleichung sind also überhaupt nicht möglich. Wir arbeiten also mit einer Kettengleichheit:

\(\frac{20(x+3y)}{10}+3y-2x=2(x+3y)+3y-2x=2x+6y+3y-2x=9y\)

Aufgabe 3

Wir können zwei Varianten versuchen: Einen der Terme in den anderen umzuformen oder aber wir versuchen die Gleichung selbst umzuformen. Im ersten Fall ist eine Kettengleichung nützlich, im zweiten Fall führen Äquivalenzumformungen ins Ziel:

\(\frac{8(2xy+2y)+2x}{2y}=\frac{8(2xy+2y)}{2y} + \frac{2y}{2y} = \frac{8(2xy+2y)}{2y} + 1=8(\frac{2xy}{2y}+\frac{2y}{2y}) + 1=8(x+1)+1=8x+8+1=8x+9\)

(Kettengleichung)

oder

\(\begin{align*}\frac{8(2xy+2y)+2y}{2y}&=8x+9\\ \Leftrightarrow 8(2xy+2y)+2y &= (8x+9)\cdot 2y\\ \Leftrightarrow 16xy+16y+2y&=16xy+18y\\ \Leftrightarrow 16xy +18y&=16xy+18y\end{align*}\)

(Äquivalenzumformungen)

Am Ende kommst du mit Methode 2 auf eine wahre Aussage: Auf beiden Seiten der Gleichung steht dasselbe. Die Ausgangsgleichung muss also auch gestimmt haben, da nur Äquivalenzumformungen benutzt wurden.

Entscheide in solchen Situationen selbst, welchen der beiden Wege zu komfortabler findest.