Kapitel 3: Ein Blick in die Wahrscheinlichkeitsrechnung (S. 37)

Aufgabe 1

Da beim Fußball zwei Mannschaften gegeneinander spielen, geht es hier darum zwei Mannschaften aus den gegebenen 20 Mannschaften auszuwählen. Da es im Fußball das Heimrecht gibt, muss dabei die Reihenfolge beachtet werden. Zudem kann eine Mannschaft auch nicht gegen sich selbst spielen und daher auch nicht zurückgelegt. Schließlich gibt es immer Hin- und Rückspiel, das heißt zwei Mannschaften spielen immer zweimal gegeneinander und somit gäbe es bei 20 Mannschaften insgesamt \(2\cdot\left(\begin{array}{c} 20\\2\end{array}\right)=380\) Spiele. Aktuell besteht die Bundesliga aus 18 Vereinen und damit finden \(2\cdot\left(\begin{array}{c} 18\\2\end{array}\right)=306\) Spiele statt. Es müssten also 74 Partien zusätzlich ausgetragen werden.

Aufgabe 2

Damit wirklich keines der beiden Puzzles vollständig ist, muss jeweils mindestens ein Teil fehlen. Es gibt also zwei mögliche Fälle:

• Fall 1: Im ersten Puzzle (mit 30 Teilen) fehlt ein Teil, im zweiten Puzzle (mit 40 Teilen) zwei.

• Fall 2: Im ersten Puzzle (mit 30 Teilen) fehlen zwei Teile, im zweiten Puzzle (mit 40 Teilen) fehlt eins.

Für den ersten Fall haben wir natürlich 30 Möglichkeiten für ein fehlendes Teil im ersten Puzzle. Aus dem zweiten Puzzle müssen wir zufällig zwei Teile auswählen, die fehlen sollen. Dabei können wir ein Teil natürlich nicht doppelt wählen (d.h. wir ziehen die Teile ohne Zurücklegen) und müssen auch nicht die Reihenfolge berücksichtigen. Somit gibt es dazu \(\left(\begin{array}{c} 40\\2\end{array}\right)\) Möglichkeiten. Für den ersten Fall haben wir also insgesamt \(30\cdot \left(\begin{array}{c} 40\\2\end{array}\right)\) mögliche Konstellationen.

Für den zweiten Fall erhalten wir auf die gleiche Weise \( \left(\begin{array}{c} 30\\2\end{array}\right)\cdot 40\) mögliche Konstellationen und da insgesamt 70 Puzzleteile vorhanden sind von denen drei fehlen sollen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Puzzles vollständig ist:

\( \begin{align*} P=\frac{30\cdot\left(\begin{array}{c} 40\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 30\\2\end{array}\right)\cdot 40}{\left(\begin{array}{c} 70\\3\end{array}\right)}=\frac{120}{161}\,\approx74,5\%\end{align*}\)