Kapitel 3: Ein Blick in die Wahrscheinlichkeitsrechnung (S. 33)

Aufgabe 1

(a) Auf jedem Ring des Zahlenschlosses können wir aus den Ziffern 0,1,…,9 eine auswählen, haben also 10 Möglichkeiten. Mit dem Produktsatz der Kombinatorik sind also insgesamt \(10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5=100.000\) Kombinationen möglich.

(b) Darf in der Kombination jede Ziffer nur einmal auftreten, können wir auf dem ersten Ring immer noch frei wählen, haben also nach wie vor 10 Möglichkeiten für die erste Stelle der Kombination. Haben wir diese aber gewählt, können wir diese Ziffer auf den verbleibenden Ringen nicht mehr einstellen.

Auf dem zweiten Ring sind also nur noch 10-1=9 Ziffern möglich. Ist auch diese gewählt (die ersten beiden Stellen unserer Kombination also festgelegt, dürfen wir auf dem dritten Ring gerade die beiden bereits gewählten Ziffern (von Ring eins und zwei) nicht mehr auswählen, haben also nur noch 10-2=8 Möglichkeiten.

Entsprechend haben wir auf dem vierten Ring nur noch aus 10-3=7 Ziffern und auf dem fünften Ring aus 10-4=6 Ziffern auswählen. Mit dem Produktsatz der Kombinatorik gibt es somit also immer noch \(10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=30.240\) mögliche Kombinationen, wenn jede Ziffer nur einmal auftreten darf.

Aufgabe 2

(a) Im Prinzip müssen wir uns einfach die Frage stellen, auf wieviele Arten wir fünf Personen auf fünf freie Plätze stellen können. Für den ersten Platz können wir einfach eine der fünf Personen auswählen, haben also 5 Möglichkeiten. Da die erste Person nun bereits steht, bleiben noch vier Personen übrig von denen wir eine auf den zweiten Platz stellen. Dafür gibt es also vier Möglichkeiten. Sind die beiden Herrschaften festgesetzt, können wir von den verbliebenen drei Personen eine auf den dritten Platz stellen und haben somit drei Möglichkeiten den dritten Platz zu belegen. Schließlich können wir für den vierten Platz noch einen aus den verbliebenen zwei Personen auswählen (2 Möglichkeiten) und stellen die letzte Person auf den fünften Platz. Mit dem Produktsatz der Kombinatorik gibt es also insgesamt \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\) mögliche Anordnungen der fünf Personen.

(b) Für die Wahl der ersten Person die wechselt haben wir natürlich 5 Möglichkeiten. Ist diese Person nun zum Schalter gegangen, können wir den zweiten Wechsler aus den verbliebenen vier Personen auswählen, haben dafür also vier Möglichkeiten. Zu guter letzt bleiben drei Personen übrig aus denen wir die letzte Person auswählen und zum Schalter zwei schicken. Dafür haben wir eben drei Möglichkeiten und mit dem Produktsatz der Kombinatorik also insgesamt \( 5\cdot 4\cdot 3=60\) Möglichkeiten.