Kapitel 13: Tipps und Tricks zum Lösen von Aufgaben (S. 216)
Aufgabe 1
Mathematischer Hintergrund: Gegenseitige Lage zweier Geraden
Gegeben (Sachkontext):
- Fahrzeit von \(F_{1}=40\,min.\)
- Startpunkt von \(F_{1}:\;A(16|4)\)
- Endpunkt von \(F_{1}:\;B(12|20)\)
- Geschwindigkeit von \(F_{2}=25\,km/h\)
- Startpunkt von \(F_{2}:\;A(4|0)\)
- Kurs von \(F_{2}:\) in Richtung von \(B(8|3)\)
Gegeben (Mathematik):
- Zwei Punkte, A und B, die eine Gerade (z.B. \(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\) festlegen, die den Kurs der Fähre \(F_{1}\) modelliert.
- Zwei Punkte, C und D, die eine Gerade (z.B. \(\vec{x}=\overrightarrow{OC}+s\cdot\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\right)\) festlegen, die den Kurs der Fähre \(F_{2}\) modelliert.
- Ein Faktor \(40\,min\), der den Parameter in der Geradengleichung zur Fähre \(F_{1}\) gegenüber der Fähre \(F_{2}\) skaliert. Nach 40 min wäre die Fähre \(F_{1}\) am Ort B, d.h. in 40 min. legt sie einen Weg von \(s=\sqrt{(12-16)^2+(20-4)^2}=4\sqrt{17}\) zurück. Sie fährt also mit einer Geschwindigkeit von \(v=4\sqrt{17\, km}{40\, min}=6\sqrt{17}\,km/h\). Für die Parameter r und s gilt also: \(\frac{r}{s}=\frac{6\sqrt17}{25}\).
- Ein Faktor \(25\,km/h\), der den von der Fähre \(F_{2}\) zurückgelegten Weg charakterisiert.
(a) Gesucht (Sachkontext): Position P der Fähre \(F_{1}\) nach halbstündiger Fahrt.
Gesucht (Mathematik): Koordinaten \((x|y)\) des Punktes P auf einer Geraden (die den Kurs der Fähre \(F_{1}\) beschreibt).
(b) Gesucht (Sachkontext): Zeit bis zum Punkt, an dem beide Schiffe den kleinsten Abstand haben und der Abstand selbst.
Gesucht (Mathematik): Abstand der beiden Geraden (die den Kurs der Fähren beschreiben) und die Punkte auf beiden Geraden, die den kleinsten Abstand realisieren. Aus diesen Punkten können wir dann die Parameter bestimmen und (über die angesprochene Skalierung) damit auch die vergangene Zeit.
Aufgabe 2
Mathematischer Hintergrund: Prozentrechnung
Gegeben (Sachkontext):
- Originalpreis des Heimtrainers (399,50 €)
- ermäßigter Preis des Heimtrainers (367,54 €)
Gegeben (Mathematik):
- Grundwert \(G=399,50\,€\)
- Prozentwert \(W=399,50\,€-367,54\,€=31,96\,€\)
Gesucht (Sachkontext): Rabatt
Gesucht (Mathematik): Prozentsatz p
Aufgabe 3
Mathematischer Hintergrund: Gleichungssysteme
Gegeben (Sachkontext):
- Kupferanteil bei einem Gemisch von 1:2: 70 %
- Kupferanteil bei einem Gemisch von 3:2: 78 %
Gegeben (Mathematik):
- Zwei Gleichungen: Nennen wir die Anteile in den zugeführten Legierungen x (Legierung 1) und y (Legierung 2), so gilt bei der ersten Mischung \(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y=0,7\) und bei der zweiten \(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}y=0,78\).
Gesucht (Sachkontext): Kupferanteil in beiden Legierungen
Gesucht (Mathematik): x und y, also die Lösung des Gleichungssystems.