Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 207)

Aufgabe 1

(a) Da der Kapitän am Punkt P in den Überwachungsbereich eintritt, wählen wir den zugehörigen Ortsvektor \(\overrightarrow{OP}\) als Stützvektor. Zudem fährt das U-Boot ich Richtung Nordost bei gleichbleibender Tiefe, also nach Wahl des Koordinatensystems in Richtung

\(\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)\,.\)

Die Gerade g hat also die Gleichung

\(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1200\\0\\-540\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)\,.\)

(b) Das zweite U-Boot fährt entlang der Geraden

\(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1400\\1400\\-540\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\,.\)

Wir suchen den Schnittpunkt zwischen den beiden Geraden g und h, also einen Punkt X, dessen Ortsvektor \( \vec{x}\) gerade

\(\left(\begin{array}{c}1200\\0\\-540\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)=\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1400\\1400\\-540\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\)

erfüllt. Da

\(\begin{alignat*}{3}&&\left(\begin{array}{c}1200\\0\\-540\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)&=\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1400\\1400\\-540\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\qquad&&\Bigg|\;-\left(\begin{array}{c}1400\\1400\\-540\end{array}\right)-s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}-200\\-1400\\0\end{array}\right)&=t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)-s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}-200\\-1400\\0\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}t+s\\-t-s\\0\end{array}\right)&&\end{alignat*}\)

erhalten wir ein lineares Gleichungssystem:

\(\begin{array}{ccccc}s & + & t & = & -200\\-s &- & t & = & -1400\end{array}\;\Longleftrightarrow\;\left(\begin{array}{cc|r}1 & 1 & -200\\-1 & -1 &-1400\end{array}\right)\,.\)

Addieren wir die erste Zeile zur zweiten Zeile erhalten wir

\(\left(\begin{array}{cc|r}1 & 1 & -200\\0 & 0 &-1600\end{array}\right)\,,\)

und somit hat das Gleichungssystem keine Lösung oder anders gesagt, kreuzen sich ihre Wege nicht.

(c) Da U-14 vom Punkt R aus in Richtung

\(\vec{r}=\left(\begin{array}{c}-400\\-500\\360\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}400\\800\\-540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-800\\-1300\\900\end{array}\right)\)

Zur horizontalen Ebene schließt das Boot nun also einen Winkel von

\(\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{array}{c}-800\\-1300\\900\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-800\\-1300\\0\end{array}\right)}{\left\|\left(\begin{array}{c}-800\\-1300\\900\end{array}\right)\right\|\cdot\left\|\left(\begin{array}{c}-800\\-1300\\0\end{array}\right)\right\|}=\frac{233}{\sqrt{314}\cdot\sqrt{233}}=\sqrt{\frac{233}{314}}\;\Longleftrightarrow\;\alpha=\arccos\left(\sqrt{\frac{233}{314}}\right)\approx0,17\pi\)

ein.