Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 203)

Aufgabe 1

(a) Es ist

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\3\\-1\end{array}\right)=1\cdot(-3)+(-2)\cdot 3+(-4)\cdot(-1)=-5\)

und da zusätzlich

\(\begin{align*}\left\|\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-4\end{array}\right)\right\|&=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{21}\\\left\|\left(\begin{array}{c}-3\\3\\-1\end{array}\right)\right\|&=\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{19}\end{align*}\)

erhalten wir

\(\displaystyle\cos(\alpha)=\frac{-5}{\sqrt{21}\cdot\sqrt{19}}\;\Longleftrightarrow\;\alpha=\arccos\left(-\frac{5}{\sqrt{399}}\right)\approx0,58\pi\,.\)

(b) Es ist

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\8\\-2\end{array}\right)=5\cdot2+1\cdot 8+9\cdot(-2)=0\)

und damit sind die beiden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) orthogonal.

Aufgabe 2

(a) Die Vektoren sind genau dann orthogonal wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, d.h. wenn

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{c}2\\-7\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}5\\3\\a\end{array}\right)=2\cdot5+(-7)\cdot 3+1\cdot a=-11+a=0\,,\)

also \(a=11\) ist.

(b) Da

\(\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{c}4\\4\\-6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}a\\-5\\3\end{array}\right)=4\cdot a+4\cdot(-5)+(-6)\cdot 3=4a-38\,,\)

sind die beiden Vektoren genau dann orthogonal, wenn \(\displaystyle a=\frac{38}{4}=8,5\) ist.