Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 201)

Aufgabe 1

(b) Für die gewünschten Vektoren erhalten wir

\(\begin{align*}\overrightarrow{AB}&=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-2\end{array}\right)\,,\\\overrightarrow{BC}&=\left(\begin{array}{c}0\\0\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\4\end{array}\right)\,,\\\overrightarrow{CA}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\0\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-2\end{array}\right)\,,\end{align*}\)

und entsprechend ergeben sich die Längen zu

\(\begin{align*}\|\overrightarrow{AB}\|&=\left\|\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-2\end{array}\right)\right\|=\sqrt{(-1^2)+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3\,,\\\|\overrightarrow{BC}\|&=\left\|\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\4\end{array}\right)\right\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\,,\\\|\overrightarrow{CA}\|&=\left\|\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-2\end{array}\right)\right\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3\,.\end{align*}\)

Aufgabe 2

(a) Der Punkt \(S\) liegt in der Seitenfläche \(ADHE\) und ist daher eine Kombination aus Vielfachen der Vektoren \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\), d.h.

\(\overrightarrow{AS}=r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}\,.\)

(b) Aus dem Streckenzug \(ABCGS\) erhalten wir gerade

\(0=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\overrightarrow{GS}-\overrightarrow{AS}\,,\)

also nach Aufgabenteil (a) gerade

\(0=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\overrightarrow{GS}-r\cdot\vec{b}-s\cdot\vec{c}=\vec{a}+(1-r)\cdot\vec{b}+(1-s)\cdot\vec{c}+\overrightarrow{GS}\,.\)

Außerdem ist \(\overrightarrow{GS}=t\cdot\overrightarrow{GT}\) sowie \(\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BT}\) und nach Aufgabenstellung \(\overrightarrow{BT}=\frac{3}{4}\cdot\overrightarrow{BH}\), also

\(\overrightarrow{GS}=t\cdot\overrightarrow{GT}=t\cdot\left(-\vec{c}-\vec{b}+\frac{3}{4}\cdot\overrightarrow{BH}\right)\,.\)

Schließlich liefert der Streckenzug \(ABHE\), dass

\(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EH}=-\vec{a}+\vec{c}+\vec{b}\,,\)

und indem wir alles zusammenbauen erhalten wir

\(\begin{align*}0&=\vec{a}+(1-r)\cdot\vec{b}+(1-s)\cdot\vec{c}+\overrightarrow{GS}\\&=\vec{a}+(1-r)\cdot\vec{b}+(1-s)\cdot\vec{c}+t\cdot\left(-\vec{c}-\vec{b}+\frac{3}{4}\cdot\overrightarrow{BH}\right)\\&=\vec{a}+(1-r-t)\cdot\vec{b}+\left(1-s-t\right)\cdot\vec{c}+\frac{3}{4}t\cdot\overrightarrow{BH}\\&=\vec{a}+(1-r-t)\cdot\vec{b}+\left(1-s-t\right)\cdot\vec{c}+\frac{3}{4}t\cdot\left(-\vec{a}+\vec{c}+\vec{b}\right)\\&=\left(1-\frac{3}{4}t\right)\cdot\vec{a}+\left(1-s-\frac{1}{4}t\right)\cdot\vec{b}+\left(1-r-\frac{1}{4}t\right)\cdot\vec{c}\,.\end{align*}\)

Da die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aber alle in verschiedene Richtungen zeigen, kann diese Summe nur Null werden, wenn die Klammern Null sind, wenn also \(t=\frac{4}{3}\), \(r=\frac{2}{3}\) und \(s=\frac{2}{3}\) sind. Damit ist

\(\overrightarrow{GS}=\frac{4}{3}\cdot\overrightarrow{GT}\)

oder anders gesagt, teilt T den Vektor \(\overrightarrow{GS}\) im Verhältnis 3:1.