Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 197)
(a) Überführen wir das Gleichungssystem in die erweiterte Koeffizientenmatrix, erhalten wir
\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 3 & -2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -2 & 2\end{array}\right)\xrightarrow{II-3\cdot I}\left(\begin{array}{ccc|r} 3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & -5 & 7 & 2\end{array}\right)\,.\end{align*}\)
Lösen wir nun die zweite Zeile nach \(y\) auf erhalten wir
\(-5y+7z=2\;\Longleftrightarrow\;-5y=2-7z\;\Longleftrightarrow\;y=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z\,,\)
und eingesetzt in die erste Gleichung folgt
\(3x-2y+z=0\;\Longleftrightarrow\;3x=2y+z\;\Longleftrightarrow\;3x=\frac{14}{5}-\frac{4}{5}z+z=\frac{14}{5}+\frac{1}{5}z\,.\)
Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen, nämlich gerade alle Zahlentripel
\((x,y,z)=\left(\frac{14}{5}+\frac{1}{5}z,\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z,z\right)\,.\)
(b) Mit Zeilenumformungen folgt:
\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 1 & 1 & 1 & 2\\ -1 & 3 & -2 & -3\end{array}\right)\xrightarrow[4\cdot III+I]{4\cdot II-I}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 0 & -4 & 1 & 1\\ 0 & 20 & -5 & -5\end{array}\right)\xrightarrow{III+5\cdot II}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 0 & -4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\,.\end{align*}\)
Wir haben es also auch hier mit einem unterbestimmten Gleichungssystem zu tun. Lösen wir die zweite Zeile nach \(z\) um, erhalten wir
\(-4y+z=1\;\Longleftrightarrow\;z=1+4y\)
und eingesetzt in die erste Zeile
\(4x+8y+3z=7\;\Longleftrightarrow\;4x=8-8y-3z=8-8y-3\cdot(1+4y)=5-20y\;\Longleftrightarrow\;x=\frac{5}{4}-5y\,.\)
Auch dieses System hat unendlich viele Lösungen. Es ist nämlich für jedes \(y\)
\((x,y,z)=\left(\frac{5}{4}-5y,y,1+4y\right)\)
eine Lösung.