Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 197)

(a) Überführen wir das Gleichungssystem in die erweiterte Koeffizientenmatrix, erhalten wir

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 3 & -2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -2 & 2\end{array}\right)\xrightarrow{II-3\cdot I}\left(\begin{array}{ccc|r} 3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & -5 & 7 & 2\end{array}\right)\,.\end{align*}\)

Lösen wir nun die zweite Zeile nach \(y\) auf erhalten wir

\(-5y+7z=2\;\Longleftrightarrow\;-5y=2-7z\;\Longleftrightarrow\;y=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z\,,\)

und eingesetzt in die erste Gleichung folgt

\(3x-2y+z=0\;\Longleftrightarrow\;3x=2y+z\;\Longleftrightarrow\;3x=\frac{14}{5}-\frac{4}{5}z+z=\frac{14}{5}+\frac{1}{5}z\,.\)

Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen, nämlich gerade alle Zahlentripel

\((x,y,z)=\left(\frac{14}{5}+\frac{1}{5}z,\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z,z\right)\,.\)

(b) Mit Zeilenumformungen folgt:

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 1 & 1 & 1 & 2\\ -1 & 3 & -2 & -3\end{array}\right)\xrightarrow[4\cdot III+I]{4\cdot II-I}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 0 & -4 & 1 & 1\\ 0 & 20 & -5 & -5\end{array}\right)\xrightarrow{III+5\cdot II}\left(\begin{array}{ccc|r} 4 & 8 & 3 & 7\\ 0 & -4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\,.\end{align*}\)

Wir haben es also auch hier mit einem unterbestimmten Gleichungssystem zu tun. Lösen wir die zweite Zeile nach \(z\) um, erhalten wir

\(-4y+z=1\;\Longleftrightarrow\;z=1+4y\)

und eingesetzt in die erste Zeile

\(4x+8y+3z=7\;\Longleftrightarrow\;4x=8-8y-3z=8-8y-3\cdot(1+4y)=5-20y\;\Longleftrightarrow\;x=\frac{5}{4}-5y\,.\)

Auch dieses System hat unendlich viele Lösungen. Es ist nämlich für jedes \(y\)

\((x,y,z)=\left(\frac{5}{4}-5y,y,1+4y\right)\)

eine Lösung.