Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 195)

Aufgabe 1

(a) Wir übertragen das lineare Gleichungssystem in die Matrixschreibweise und nutzen zur Notation die deutlich übersichtlichere erweiterte Koeffizientenmatrix:

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{cc|r}-3 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 6\end{array}\right)\xrightarrow{3\cdot II+2\cdot I}\left(\begin{array}{cc|r}-3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 20\end{array}\right)\end{align*}\)

Also ist \(y=20\) und setzen wir dies in die erste Gleichung ein, folgt

\(-3x+2y=1\;\Longleftrightarrow\;-3x+40=1\;\Longleftrightarrow\;-3x=-39\;\Longleftrightarrow\;x=13\,.\)

Alternativ: Man kann die Matrix auch „von oben mit Nullen“ auffüllen, d.h.

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{cc|r}-3 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 6\end{array}\right)\xrightarrow{I+2\cdot II}\left(\begin{array}{cc|r}1 & 0 & 13\\ 2 & -1 & 6\end{array}\right)\end{align*}\)

umformen. Das vereinfacht in diesem Fall die Rechnung und wir erhalten statt \(y\) nun sofort \(x=13\) und können diese Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen um \(y\) zu berechnen:

\(2x-y=6 \;\Longleftrightarrow\;26-y=6\;\Longleftrightarrow\;-y=-20\;\Longleftrightarrow\;y=20\,.\)

(b) Die erweiterte Koeffizientenmatrix zu diesem Gleichungssystem ist

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 4 & 5 & 6 & 25\\ 5 & 7 & -1 & 42 \end{array}\right)\end{align*}\)

und mittels Zeilenumformungen erhalten wir

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 4 & 5 & 6 & 25\\ 5 & 7 & -1 & 42 \end{array}\right)&\xrightarrow[III-5\cdot I]{II-4\cdot I}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 0 & -3 & -6 & -3\\ 0 & -3 & -16 & 7 \end{array}\right)\\&\xrightarrow{III-II}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 0 & -3 & -6 & -3\\ 0 & 0 & -10 & 10 \end{array}\right)\xrightarrow[III:(-10)]{II:(-3)}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\end{align*}\)

Also ist \(z=-1\). Setzen wir nun diese Lösung in die zweite Zeile ein, folgt

\(y+2z=1\;\Longleftrightarrow\;y-2=1\;\Longleftrightarrow\;y=3\)

und durch Einsetzen von beiden Lösungen in die erste Zeile schließlich

\(x+2y+3z=7\;\Longleftrightarrow\;x+6-3=7\;\Longleftrightarrow\;x=4\,.\)

Alternativ: Statt nach dem Erreichen der Nullen unter der Diagonale die gefundene Lösung \(z=-1\) in die anderen beiden Zeilen bzw. Gleichungen einzusetzen, können wir auch die Matrix noch weiter umformen und sie in die sogenannte erweiterte Zeilenstufenform überführen. Dazu füllen wir sie auch „von oben“ mit Nullen auf:

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 7\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\xrightarrow[II-2\cdot III]{I-3\cdot III}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 0 & 10\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\xrightarrow{I-2\cdot II}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\end{align*}\)

und können nun die Lösungen direkt ablesen.