Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 211)

Aufgabe 1

Wir überprüfen zunächst einmal ob sich die beiden Ebenen schneiden, also ein Punkt X existiert mit \(\vec{x}=\overrightarrow{OX}\) und

\(\begin{alignat*}{3}&&\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\2\\-1\end{array}\right)&=\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-3\\1\end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\4\\1\end{array}\right)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&r\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\2\\-1\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-3\\1\end{array}\right)-u\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\4\\1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}-r-t+2u\\r+2s+3t-4u\\-s-t-u\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)&&\end{alignat*}\)

Für das entstehende, überbestimmte Gleichungssystem folgt

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&0&-1&2&-1\\1&2&3&-4&1\\0&-1&-1&-1&0\end{array}\right)&\xrightarrow[III:(-1)]{II+1}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&0&-1&2&-1\\0&2&2&-2&0\\0&1&1&1&0\end{array}\right)\\&\xrightarrow[II:2]{2\cdot III-II}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&0&-1&2&-1\\0&1&1&-1&0\\0&0&0&4&0\end{array}\right)\\&\xrightarrow{III:4}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&0&-1&2&-1\\0&1&1&-1&0\\0&0&0&1&0\end{array}\right)\\&\xrightarrow[II+III]{I-2\cdot III}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&0&-1&0&-1\\0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{array}\right)\xrightarrow{I+II}\left(\begin{array}{cccc|r}-1&1&0&0&-1\\0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{array}\right)\,,\end{align*}\)

es ist also lösbar mit \(u=0,\) \(s=-1+r\) sowie \(s=-t\). Folglich schneiden sich die beiden Ebenen und für die Schnittgerade erhalten wir

\(g\;\colon\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-3\\1\end{array}\right)\,.\)

Aufgabe 2

Für die gegenseitige Lage suchen wir zunächst wieder nach einem Schnittpunkt X deren Ortsvektor \(\vec{x}=\overrightarrow{OX}\) beide Gleichungen erfüllt. Dazu setzen wir die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein:

\(\begin{alignat*}{2}&&\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)\cdot\left[\left(\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-1\\-1\end{array}\right)\right]&=0\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)\cdot\left[\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)\right]&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad&1+6\cdot r&=0&&\\&\Longleftrightarrow\quad& r&=-\frac{1}{6}\,.\end{alignat*}\)

Somit schneiden sich Gerade und Ebene und für den Schnittpunkt X erhalten wir:

\(\begin{align*}\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)+\frac{1}{6}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{19}{6}\\\frac{5}{3}\\\frac{1}{6}\end{array}\right)\,.\end{align*}\)