Kapitel 12: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (S. 209)

Aufgabe 1

(a) Für die Gleichung der Ebene benötigen wir einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren die nicht parallel sein dürfen. Als Stützvektor der Ebene wählen wir den Ortsvektor vom Schnittpunkt der beiden Geraden (der liegt sicherlich in der Ebene) und als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Für den Schnittpunkt müssen wir wegen

\(\begin{alignat*}{3}&&\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}1\\4\\-4\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\qquad&&\Bigg|-\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)-s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\\&\Longleftrightarrow\quad&r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)-s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}0\\7\\-6\end{array}\right)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}r-2s\\2r+3s\\-3r\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}0\\7\\-6\end{array}\right)&&\end{alignat*}\)

das Gleichungssystem

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{cc|r} 1 & -2 & 0\\2 & 3 & 7\\ -3 & 0 &-6\end{array}\right)\end{align*}\)

lösen. Mit

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{cc|r} 1 & -2 & 0\\2 & 3 & 7\\ -3 & 0 &-6\end{array}\right)&\xrightarrow[III+3\cdot I]{II-2\cdot I}\left(\begin{array}{cc|r} 1 & -2 & 0\\0 & 7 & 7\\ 0 & -6 &-6\end{array}\right)\\&\xrightarrow[II:7]{III:(-6)}\left(\begin{array}{cc|r} 1 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)\xrightarrow[III-II]{I+2\cdot II}\left(\begin{array}{cc|r} 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\ 0 & 0 &0\end{array}\right)\end{align*}\)

erhalten wir \(r=2\) und \(s=1\). Dann ist der Ortsvektor des Schnittpunktes gerade

\(\begin{align*}\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\-4\end{array}\right)\end{align*}\)

und damit die Parameterform der Ebene gegeben durch

\(E\;\colon\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\1\\-4\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\,.\)

(b) Für die Normalform benötigen wir einen Normalenvektor der Ebene, der natürlich insbesondere zu beiden Richtungsvektoren orthogonal stehen muss. Es bietet sich also an, als Normalenvektor gerade das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren zu wählen:

\(\begin{align*}\vec{n}=\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\6\\7\end{array}\right)\,.\end{align*}\)

Die Normalenform ist also

\(E\;\colon\,\left(\begin{array}{c}9\\6\\7\end{array}\right)\cdot\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}3\\1\\-4\end{array}\right)\right]=0\,.\)

Aufgabe 2

Mit dem Stützvektor und dem Richtungsvektor von g haben wir bereits einen Stützvektor und einen Richtungsvektor für die Ebene E gegeben. Um sicherzustellen, dass E zu h parallel ist, wählen wir als zweiten Richtungsvektor den Richtungsvektor von h. Wir erhalten

\(E\;\colon\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\,.\)

Dann sind E und g tatsächlich parallel, denn

\(\begin{alignat*}{3}&&\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}14\\4\\3\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\qquad&&\Bigg|-\left(\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)\\&\Longleftrightarrow\quad&r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}13\\7\\1\end{array}\right)&&\\&\Longleftrightarrow\quad&\left(\begin{array}{c}r+2s-2t\\2r-3s+3t\\-3r\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}13\\7\\1\end{array}\right)&&\end{alignat*}\)

und das Gleichungssystem wegen

\(\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & -2 & 13\\2 & -3 & 3 & 7\\ -3 & 0 & 0 &1\end{array}\right)&\xrightarrow[III+3\cdot I]{II-2\cdot I}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & -2 & 13\\0 & -7 & 7 & -19\\ 0 & 6 & -6 & 40\end{array}\right)\\&\xrightarrow{III+\frac{6}{7}\cdot II}\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & -2 & 13\\0 & -7 & 7 & -19\\ 0 & 0 & 0 & \frac{166}{7}\end{array}\right)\end{align*}\)

nicht lösbar (schließlich liefert die letzte Zeile \(0=\frac{166}{7}\), ein Widerspruch).