Kapitel 11: Integralrechnung (S. 185)

Aufgabe 1

(a) Wegen

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\frac{1}{6-0}\int_{0}^{6}-x^4+40x^3-500x^2+2000x+1\,dx\\&=\frac{1}{6}\cdot\Big[-\frac{x^5}{5}+10x^4-\frac{500}{3}x^3+1000x^2+x\Big]_{0}^{6}\\ &=\frac{1}{6}\cdot\Big(-\frac{6^5}{5}+10\cdot6^4-\frac{500}{3}\cdot6^3+1000\cdot 6^2+6\Big)=\frac{57054}{30}\end{align*}\)

sind es im Schnitt ca. \(\displaystyle \frac{57054}{30}\approx1908\) Bakterien.

(b) Zwischen dem 3. und 6. Tag sind es wegen

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\frac{1}{6-3}\int_{3}^{6}-x^4+40x^3-500x^2+2000x+1\,dx\\&=\frac{1}{3}\cdot\Big[-\frac{x^5}{5}+10x^4-\frac{500}{3}x^3+1000x^2+x\Big]_{3}^{6}\\ &=\frac{1}{3}\cdot\Big(-\frac{6^5}{5}+10\cdot6^4-\frac{500}{3}\cdot6^3+1000\cdot 6^2+6\Big)\\&\quad-\frac{1}{3}\cdot\Big(-\frac{3^5}{5}+10\cdot3^4-\frac{500}{3}\cdot3^3+1000\cdot 3^2+3\Big)=\frac{10244}{5}\end{align*}\)

etwa \(\displaystyle \frac{10244}{5}\approx2049\) Bakterien.

Aufgabe 2

Wir brauchen zunächst die Nullstellen der Funktion \(f\), die wir dank der sehr einfachen Form von \(f\) sofort ablesen können. Es sind gerade 1 und 4. Mit der Formel für das Rotationsvolumen folgt dann:

\(\begin{align*}V&=\pi\cdot\int_{1}^{4}\big(f(x)\big)^2\,dx\\&=\pi\cdot\int_{1}^{4} \frac{1}{16}\cdot(x-4)^4\cdot(x-1)^2\,dx\\&=\frac{\pi}{16}\cdot\int_{1}^{4}(x-4)^4\cdot(x-1)^2\,dx\end{align*}\)

Zur Berechnung des Integrals nutzen wir die partielle Integration und berechnen

\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\int_{1}^{4}\underbrace{(x-4)^4}_{=\,f'(x)}\cdot\underbrace{(x-1)^2}_{=\,g(x)}\,dx\\&=\Big[\underbrace{\frac{1}{5}(x-4)^5}_{=\,f(x)}\cdot\underbrace{(x-1)^2}_{=\,g(x)}\Big]_{1}^{4}-\int_{1}^{4}\underbrace{\frac{1}{5}(x-4)^5}_{=\,f(x)}\cdot\underbrace{2\cdot(x-1)}_{=\,g'(x)}\,dx\\&=\underbrace{\frac{1}{5}\cdot(4-4)^5\cdot(4-1)^2-\frac{1}{5}\cdot(1-4)^5\cdot(1-1)^2}_{=\,0}-\frac{2}{5}\int_{1}^4\underbrace{(x-4)^5}_{=\,f'(x)}\cdot\underbrace{(x-1)}_{=\,g(x)}\,dx\\&=-\frac{2}{5}\cdot\bigg(\Big[\underbrace{\frac{1}{6}\cdot(x-4)^6}_{=\,f(x)}\cdot\underbrace{(x-1)}_{=\,g(x)}\Big]_{1}^{4}-\int_{1}^{4}\underbrace{\frac{1}{6}\cdot(x-4)^6}_{=\,f(x)}\cdot\underbrace{1}_{=\,g'(x)}\,dx\bigg)\\&=-\frac{2}{5}\cdot\bigg(\underbrace{\cdot\Big(\frac{1}{6}\cdot(4-4)^6\cdot(4-1)-\frac{1}{6}\cdot(1-4)^6\cdot(1-1)\Big)}_{=\,0}-\frac{1}{6}\cdot\int_{1}^{4}(x-4)^6\,dx\bigg)\\&=\frac{1}{15}\int_{1}^{4}(x-4)^6\,dx\\&=\frac{1}{15}\cdot\Big[\frac{1}{7}(x-4)^7\Big]_{1}^{4}\\&=\frac{1}{15}\cdot\Big(\frac{1}{7}\cdot(4-4)^7-\frac{1}{7}\cdot(1-4)^7\Big)=\frac{729}{35}\,.\end{align*}\)

Damit ist das Volumen dann

\(\displaystyle V=\frac{\pi}{16}\cdot\frac{729}{35}\approx4,0\,.\)