Kapitel 11: Integralrechnung (S. 183)

Aufgabe 1

\( \begin{align*}\int_{0}^8 -\frac{1}{4}\cdot t^3+3\cdot t^2\,dt&=\Big[-\frac{1}{16}\cdot t^4+t^3\Big]_{0}^{8}\\&=-\frac{1}{16}\cdot8^4+8^3=256\end{align*}\)

In den ersten 8s legt der Sportwagen also 256m zurück.

Aufgabe 2

(a) Die Höhe \(h(T)\) des Baums zur Zeit \(T\) entspricht gerade dem Integral

\(h(T)=\int_{0}^{T} f(t)\,dt+0,2\,.\)

Substituieren wir \(z=-0,005\cdot t^2\), ist \(z’=-0,01\cdot t\), also

\(dz=-0,01\cdot t\,dt\;\Longleftrightarrow\;dt=-\frac{100}{t}\,dz\)

erhalten wir

\(\begin{align*}\int_{0}^{T}0,075\cdot t\cdot e^{-0,005\cdot t^2}&=\int\limits_{-0,005\cdot 0^2}^{-0,005\cdot T^2}0,075\cdot t\cdot e^z\cdot \left(-\frac{100}{t}\right)\,dz\\&=\int\limits_{0}^{-0,005\cdot T^2}-7,5e^z\,dz\\&=\Big[-7,5e^z\Big]_{0}^{-0,005\cdot T^2}\\&=-7,5e^{-0,005\cdot T^2}+7,5=7,5\cdot\big(1-e^{-0,005\cdot T^2}\big)\,,\end{align*}\)

also \(h(T)=7,5\cdot\big(1-e^{-0,005\cdot T^2}\big)+0,2\) wobei \(h(T)\) die Höhe in Meter angibt. Somit müssen wir die Gleichung

\(7,5\cdot\big(1-e^{-0,005\cdot T^2}\big)+0,2=25\)

lösen. Da aber die linke Seite nicht größer als \(7,5+0,2=7,7\) werden kann (wir ziehen ja gerade noch den Term mit der e-Funktion davon ab), hat diese Gleichung keine Lösung und der Baum erreicht niemals eine Höhe von 25m.

(b) Die maximale Höhe entspricht dem Grenzwert der Funktion \(h\) für \(T\longrightarrow\infty\). Da

\(\lim\limits_{T\rightarrow\infty}h(T)=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}7,5\cdot\big(1-e^{-0,005\cdot T^2}\big)+0,2=7,5\cdot(1-0)+0,2=7,7\)

wird der Baum also höchstens 7,7m hoch.