Kapitel 11: Integralrechnung (S. 181)

Aufgabe 1

Zunächst einmal müssen wir die Nullstellen der Funktion \(f\) berechnen. Wegen

\(\begin{alignat*}{2} &&x^2-6x+8&=0&&\qquad|\;\;\text{p-q-Formel}\\ & \Longleftrightarrow\quad& x_{1,2}&=3\pm\sqrt{(-3)^2-8}&&\\ &\Longleftrightarrow\quad& x_{1}=2\;&\vee\;x_{2}=4\,,&&\end{alignat*}\)

sind das gerade \(2\) und \(4\). Wir müssen also das Intervall \([0,8]\) in die drei Bereiche

\([0,2]\,,\qquad[2,4]\,,\qquad[4,8]\)

aufteilen. Um uns etwas Arbeit zu ersparen, berechnen wir das Integral zunächst für beliebige Grenzen \(a\) und \(b\). Dafür folgt:

\(\begin{align*}\int_{a}^{b}x^2-6x+8\,dx&=\int_{a}^{b}x^2\,dx-6\cdot\int_{a}^{b}x\,dx+\int_{a}^{b}8\,dx\\&=\Big[\frac{1}{3}\cdot x^3\Big]_{a}^{b}-6\cdot\Big[\frac{1}{2}x^2\Big]_{a}^{b}+\Big[8x\Big]_{a}^{b}=\Big[\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\Big]_{a}^{b}\,.\end{align*}\)

Damit erhalten wir

\(\begin{align*}\int_{0}^{2}x^2-6x+8\,dx&=\Big[\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\Big]_{0}^{2}\\&=\frac{2^3}{3}-3\cdot2^2+8\cdot2=\frac{20}{3}\,,\end{align*}\) \(\begin{align*}\int_{2}^{4}x^2-6x+8\,dx&=\Big[\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\Big]_{2}^{4}\\&=\Big(\frac{4^3}{3}-3\cdot4^2+8\cdot4\Big)-\Big(\frac{2^3}{3}-3\cdot2^2+8\cdot2\Big)\\&=\frac{16}{3}-\frac{20}{3}=-\frac{4}{3}\,,\end{align*}\) \(\begin{align*}\int_{4}^{8}x^2-6x+8\,dx&=\Big[\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\Big]_{4}^{8}\\&=\Big(\frac{8^3}{3}-3\cdot8^2+8\cdot8\Big)-\Big(\frac{4^3}{3}-3\cdot4^2+8\cdot4\Big)\\&=\frac{128}{3}-\frac{16}{3}=\frac{112}{3}\,.\end{align*}\)

Die Funktion schließt also im Intervall \([0,8]\) mit der x-Achse die Fläche

\(\displaystyle A=\frac{20}{3}+\frac{4}{3}+\frac{112}{3}=\frac{136}{3}\)

ein.

Aufgabe 2

Aus der Skizze können wir entnehmen, dass wir die angegebene Funktion einmal von 0 bis 1 und dann von 1 bis 1,5 integrieren müssen. Das ergibt

\(\begin{align*}\int_{0}^{1}x^3-x^2\,dx&=\Big[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\Big]_{0}^{1}\\&=\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}=-\frac{1}{12}\,,\end{align*}\) \(\begin{align*}\int_{1}^{1,5}x^3-x^2\,dx&=\Big[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\Big]_{1}^{1,5}\\&=\Big(\frac{1,5^4}{4}-\frac{1,5^3}{3}\Big)-\Big(\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}\Big)\\&=\frac{9}{64}+\frac{1}{12}=\frac{43}{192}\,,\end{align*}\)

und damit eine Fläche von

\(\displaystyle A=\frac{1}{12}+\frac{43}{192}=\frac{59}{192}\,.\)