Kapitel 11: Integralrechnung (S. 179)

Aufgabe 1

(a) Hier hat sich leider der Fehlerteufel ausgetobt. Statt \(x\) sollte im Integral \(1/x\) stehen. Substituieren wir dann \(z=\ln(x)\) folgt \(\displaystyle z’=\frac{1}{x}\), also

\(\displaystyle dz=\frac{1}{x}\,dx\;\Longleftrightarrow\;dx=x\,dz\,,\)

folgt

\(\begin{align*}\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\cdot\ln(x)\,dx&=\int_{\ln(1)}^{\ln(2)}\frac{1}{x}\cdot z\cdot x\,dz\\ &=\int_{0}^{\ln(2)}z\,dz=\Big[\frac{1}{2}\cdot z^2\Big]_{0}^{\ln(2)}=\frac{1}{2}\cdot(\ln(2))^2\,.\end{align*}\)

(b) Mit der Substitution \(z=2+x^2[latex] ist [latex]z’=2x[latex], also

[latex]\displaystyle dz=2x\,dx\;\Longleftrightarrow\;dx=\frac{1}{2x}\,dz\,.\)

Damit folgt

\(\begin{align*}\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\,dx&=\int\limits_{2+0^2}^{2+2^2}\frac{x}{z}\cdot\frac{1}{2x}\,dz\\&=\int_{2}^{6}\frac{1}{\sqrt{z}}\cdot\frac{1}{2}\,dz\\&=\frac{1}{2}\cdot\int_{2}^{6}\frac{1}{z^{1/2}}\,dz\\&=\frac{1}{2}\cdot\int_{2}^{6}z^{-1/2}\,dz\\&=\frac{1}{2}\cdot\Big[2\cdot z^{1/2}\Big]_{2}^{6}=\frac{1}{2}\cdot\Big(2\cdot \sqrt{6}-2\cdot\sqrt{2}\Big)=\sqrt{6}-\sqrt{2}\,.\end{align*}\)

Aufgabe 2

(a) Wir substituieren \(z=x^2+2x+10\). Dann folgt \(z’=2x+2\), also

\(\displaystyle dz=(2x+2)\,dz\;\Longleftrightarrow\;dx=\frac{1}{2x+2}\,dz\)

und wir berechnen

\(\begin{align*}\int_{-1}^{2}\frac{2x+2}{x^2+2x+10}\,dx&=\int\limits_{(-1)^2+2\cdot(-1)+10}^{2^2+2\cdot2+10}\frac{2x+2}{z}\cdot\frac{1}{2x+2}\,dz\\ &=\int_{9}^{18}\frac{1}{z}\,dz\\&=\Big[\ln(z)\Big]_{9}^{18}=\ln(18)-\ln(9)=\ln\left(\frac{18}{9}\right)=\ln(2)\,.\end{align*}\)

(b) Mit der Substitution \(z=1+\sin(x)\) ist \(z’=\cos(x)\), also

\(\displaystyle dz=\cos(x)\,dx\;\Longleftrightarrow\;dx=\frac{1}{\cos(x)}\,dz\)

und damit

\(\begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\,dx&=\int\limits_{1+\sin(0)}^{1+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}\frac{\cos(x)}{z}\cdot\frac{1}{\cos(x)}\,dz\\&=\int\limits_{1}^{1+1/\sqrt{2}}\frac{1}{z}\,dz=\Big[\ln(z)\Big]_{1}^{(\sqrt{2}+1)/\sqrt{2}}=\ln\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right)\,.\end{align*}\)