Kapitel 11: Integralrechnung (S. 177)
Aufgabe 1
(a) Mit partieller Integration und der Faustformel erhalten wir:
\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\underbrace{(x-1)}_{g(x)}\cdot\underbrace{\sin(x)}_{f'(x)}\,dx\\&=\Big[\underbrace{(x-1)}_{g(x)}\cdot\underbrace{\big(-\cos(x)\big)}_{f(x)}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\underbrace{1}_{g'(x)}\cdot\underbrace{\big(-\cos(x)\big)}_{f(x)}\,dx\\ &=\Big[(1-x)\cdot\cos(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx\\&=\Big[(1-x)\cdot\cos(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\Big[\sin(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\Big[(1-x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\Big[\Big(1-\frac{\pi}{2}\Big)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\Big]-\Big[(1-0)\cdot\cos(0)+\sin(0)\Big]=1-1=0\,,\end{align*}\)
und haben mit \(F(x)=(1-x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\) nebenbei noch eine Stammfunktion zu \(f(x)=(x-1)\cdot\sin(x)\) gefunden.
(b) Auch hier folgen wir der Faustformel:
\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\int_{1}^{2}\underbrace{x^2}_{g(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f'(x)}\,dx\\ &=\Big[\underbrace{x^2}_{g(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f(x)}\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\underbrace{2x}_{g'(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f(x)}\,dx\\ &=\Big[x^2\cdot e^x\Big]_{1}^{2}-2\int_{1}^{2}x\cdot e^x\,dx\end{align*}\)
Offensichtlich hat sich das Integral schon vereinfacht, aber eine Stammfunktion von \(x\cdot e^x\) ist leider nicht offensichtlich. Daher folgen wir dem Tipp und integrieren noch einmal partiell:
\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\int_{1}^{2}\underbrace{x}_{g(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f'(x)}\,dx\\ &=\Big[\underbrace{x}_{g(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f(x)}\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\underbrace{1}_{g'(x)}\cdot\underbrace{e^x}_{f(x)}\,dx\\ &=\Big[x\cdot e^x\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}e^x\,dx\\ &=\Big[x\cdot e^x\Big]_{1}^{2}-\Big[e^x\Big]_{1}^{2}\\ &=\Big[x\cdot e^x-e^x\Big]_{1}^{2}=\Big[(x-1)\cdot e^x\Big]_{1}^{2}\end{align*}\)
Somit ist
\(\begin{align*}&\hspace{-0.5cm}\int_{1}^{2}x^2\cdot e^x\,dx\\ &=\Big[x^2\cdot e^x\Big]_{1}^{2}-2\int_{1}^{2}x\cdot e^x\,dx\\ &=\Big[x^2\cdot e^x\Big]_{1}^{2}-2\cdot\Big[(x-1)\cdot e^x\Big]_{1}^{2}\\ &=\Big[x^2\cdot e^x-2\cdot(x-1)\cdot e^x\Big]_{1}^{2}\\ &=\Big[(x^2-2x+2)\cdot e^x\Big]_{1}^{2}\\ &=(2^2-2\cdot2+2)\cdot e^2-(1^2-2\cdot 1+2)\cdot e^1=2e^2-e\,.\end{align*}\)
Ganz nebenbei haben wir mit \(F(x)=(x^2-2x+2)\cdot e^x\) eine Stammfunktion zu \(f(x)=x^2\cdot e^x\) gefunden.
Aufgabe 2
(a) Es ist
\(\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{2x}{e^x}\,dx &=\int_{0}^{1}\underbrace{2x}_{g(x)}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{f'(x)}\,dx\\ &=\Big[\underbrace{2x}_{g(x)}\cdot\underbrace{\big(-e^{-x}\big)}_{f(x)}\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\underbrace{2}_{g'(x)}\cdot\underbrace{\big(-e^{-x}\big)}_{f(x)}\,dx\\ &=\Big[-2x\cdot e^{-x}\Big]_{0}^{1}+2\cdot\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx\\ &=\Big[-2x\cdot e^{-x}\Big]_{0}^{1}+2\cdot\Big[-e^{-x}\Big]_{0}^{1}\\ &=\Big[-2x\cdot e^x-2\cdot e^{-x}\Big]_{0}^{1}\\ &=\Big[-2\cdot(x+1)\cdot e^{-x}\Big]_{0}^{1}\\ &=\Big(-2\cdot(1+1)\cdot e^{-1}\Big)-\Big(-2\cdot(0+1)\cdot e^{-0}\Big)=2-4e^{-1}\,.\end{align*}\)
(b) Folgen wir auch bei diesem Integral der Faustformel, erhalten wir
\(\begin{align*}\int_{1}^{2}\underbrace{x^2}_{g(x)}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{f'(x)}\,dx\end{align*}\)
und müssten nun eine Stammfunktion zu \(\ln(x)\) kennen um weitermachen zu können. Da wir die aber nicht kennen müssen wir zwangsweise andersherum vorgehen, d.h. mit
\(\begin{align*}\int_{1}^{2}\underbrace{x^2}_{f'(x)}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{g(x)}\,dx\end{align*}\)
starten. Dann folgt
\(\begin{align*}\int_{1}^{2}\underbrace{x^2}_{f'(x)}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{g(x)}\,dx&=\Big[\underbrace{\frac{x^3}{3}}_{f(x)}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{g(x)}\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\underbrace{\frac{x^3}{3}}_{f(x)}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{g'(x)}\,dx\\ &=\Big[\frac{x^3}{3}\cdot\ln(x)\Big]_{1}^{2}-\frac{1}{3}\cdot\int_{1}^{2}x^2\,dx\\ &=\Big[\frac{x^3}{3}\cdot\ln(x)\Big]_{1}^{2}-\frac{1}{3}\cdot\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{1}^{2}\\ &=\Big[\frac{x^3}{3}\cdot\ln(x)-\frac{x^3}{3}\Big]_{1}^{2}\\ &=\Big[\frac{x^3}{3}\cdot(\ln(x)-1)\Big]_{1}^{2}\\&=\frac{2^3}{3}\cdot\ln(2)-\frac{1^3}{3}\cdot\ln(1)=\frac{8}{3}\ln(2)\,.\end{align*}\)
Bitte beachte, dass selbst wenn wir eine Stammfunktion zu \(\ln(x)\) kennen würden (z.B. aus einer Formelsammlung), unser ursprünglicher Ansatz nicht funktioniert. Wie du leicht überprüfen kannst, ist nämlich zum Beispiel \(f(x)=x\cdot(\ln(x)-1)\) eine Stammfunktion zu \(f'(x)=\ln(x)\) und damit wäre
\(\begin{align*}\int_{1}^{2}\underbrace{x^2}_{g(x)}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{f'(x)}\,dx=\Big[\underbrace{x^2}_{g(x)}\cdot\underbrace{x\cdot(\ln(x)-1)}_{f(x)}\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\underbrace{2x}_{g'(x)}\cdot\underbrace{x\cdot\big(\ln(x)-1\big)}_{f(x)}\,dx\,,\end{align*}\)
das Integral durch die partielle Integration also sogar schwieriger geworden.