Kapitel 11: Integralrechnung (S. 175)
Aufgabe 1
(a) Da sich der Grad eines Polynoms beim Ableiten um Eins verringert, ist eine Stammfunktion vermutlich von der Form \(F(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x\). Leiten wir nun \(F\) ab, folgt
\(F'(x)=a\cdot3x^2+b\cdot2x+c\)
und damit \(F‘\) mit \(f\) übereinstimmt, muss offensichtlich \(a=1,\;b=\frac{1}{2}\) und \(c=-3\) sein. Wir machen also den Ansatz
\(F(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2-3x\,.\)
Dann ist \(F'(x)=3x^2+x-3=f(x),\) also \(F\) tatsächlich eine Stammfunktion zu \(f.\)
(b) Aus Erfahrung wissen wir bereits, dass sich e-Funktionen beim Ableiten reproduzieren und ebenso, dass \(\ln(x)\) eine Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist. Wir machen also den Ansatz:
\(F(x)=a\cdot e^{x^2}+b\cdot\ln(x)\,.\)
Dann liefert die Kettenregel aus Kapitel 10, S. 148:
\(F'(x)=a\cdot e^{x^2}\cdot2x+b\cdot\frac{1}{x}=2ax\cdot e^{x^2}+\frac{b}{x}\,.\)
Damit diese Ableitung mit \(f\) übereinstimmt, muss also \(a=\frac{1}{2}\) und \(b=2\) sein. Wir setzen also:
\(F(x)=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}+2\cdot\ln(x)\,.\)
Dann folgt
\(F'(x)=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x+2\cdot\frac{1}{x}=x\cdot e^{x^2}+\frac{2}{x}=f(x)\)
und somit ist \(F\) eine Stammfunktion zu \(f.\)
(c) Es ist natürlich nicht verboten, die Funktion \(f\) zunächst umzuformen. Da
\(\begin{align*}f(x)&=(x-4)^2\cdot(x-1)\\ &=(x^2-8x+16)\cdot(x-1)\\&=x^3-9x^2+24x-16\end{align*}\)
können wir hier wie in (a) vorgehen und machen den Ansatz
\(F(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x\,.\)
Die Ableitung der Funktion \(F\) ist dann
\(F'(x)=4a\cdot x^3+3b\cdot x^2+2c\cdot x+d\)
und damit \(F‘\) mit \(f\) übereinstimmt, muss offensichtlich \(a=\frac{1}{4},\;b=-3,\;c=12\) und \(d=-16\) sein. Wir setzen also
\(F(x)=\frac{1}{4}x^4-3x^3+12x^2-16x\,.\)
Dann ist \(F'(x)=x^3-9x^2+24x-16=f(x)\) und somit \(F\) eine Stammfunktion zu \(f\).
Aufgabe 2
(a) Mit der Faktorregel von S. 174 und der Tabelle von S. 172 folgt
\(\begin{align*}\int_{0}^1a\cdot e^x\,dx=a\cdot\int_{0}^{1}e^x\,dx=a\cdot\Big[e^x\Big]_{0}^{1}=a\cdot(e^1-e^0)=a\cdot(e-1)\,.\end{align*}\)
Somit muss \(a\cdot(e-1)=2e\), d.h. \(\displaystyle a=\frac{2e}{e-1}\) sein.
(b) Mit der Summen- und Faktorregel von S. 174 sowie der Tabelle von S. 172 folgt
\(\begin{align*}\int_{0}^{a}3x^2+2\,dx&=3\cdot\int_{0}^{a}x^2\,dx+2\cdot\int_{0}^{a}1\,dx\\ &=3\cdot\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{0}^{a} +2\cdot\Big[x\Big]_{0}^{a}\\ &=3\cdot\Big(\frac{a^3}{3}-\frac{0^3}{3}\Big)+2\cdot\Big(a-0\Big)=a^3+2a\,.\end{align*}\)
Also muss \(a^3+2a=12\), d.h. \(a^3+2a-12=0\) sein. Nun ist
\(a^3+2a-12=(a-2)\cdot(a^2+2a+6)\)
also \(a^3+2a-12=0\), falls \(a=2\) oder \(a^2+2a+6=0\). Da aber mit p-q-Formel
\(a^2+2a+6=0\;\Longleftrightarrow\;a=-1\pm\sqrt{1^2-6}=-1\pm\sqrt{-5}\)
und Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind, ist \(a=2\) die einzige Lösung.
(c) Mit der Tabelle von S. 172 ist
\(\begin{align*}\int_{a}^{0}x^2\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{a}^{0}=\frac{0^3}{3}-\frac{a^3}{3}=-\frac{a^3}{3}\,.\end{align*}\)
Nun ist
\(\begin{alignat*}{3}&&-\frac{a^3}{3}&=\frac{a}{2}\qquad&&|\;\cdot(-3) \\&\Longleftrightarrow\quad&\;a^3&=-\frac{3}{2}a\qquad&&\Big|\;+\frac{3}{2}a \\&\Longleftrightarrow\quad&\;a^3+\frac{3}{2}a&=0\qquad&& \\&\Longleftrightarrow\quad&\;a\cdot\Big(a^2+\frac{3}{2}\Big)&=0\qquad&&\Big|\;a^2+\frac{3}{2}\neq 0\\&\Longleftrightarrow\quad& a&=0&&\end{alignat*}\)
also \(a=0\,.\)