Kapitel 11: Integralrechnung (S. 173)

Aufgabe 1

(a) Mit der Tabelle von S. 172 erhalten wir als Kandidaten für eine Stammfunktion sofort die Funktion \(F(x)=3\cdot x\). Tatsächlich ist die Ableitung gerade \(F'(x)=3\cdot 1=3\), also \(F\) tatsächlich eine Stammfunktion von \(f\).

(b) Wir wissen bereits, das sich beim Ableiten der Grad eines Polynoms um Eins verringert. Daher liegt es nahe dass eine Stammfunktion \(F\) zu \(f\) von der Form \(F(x)=a\cdot x^2+bx\) ist. Leiten wir diese Funktion nun ab, folgt \( F'(x)=2a\cdot x+b\) und damit diese Funktion mit \(f\) übereinstimmt, muss offensichtlich \(2a=7\) und \(b=2\) sein. Wir versuchen also den Ansatz:

\(\begin{align*}F(x)=\frac{7}{2}\cdot x^2+2x\,.\end{align*}\)

Dann ist die Ableitung tatsächlich \(F'(x)=\frac{7}{2}\cdot 2x+2\cdot 1=7x+2=f(x)\) und somit \(F\) eine Stammfunktion.

(c) Wir gehen ähnlich vor wie in (b). Wir wissen aus den Ableitungsregeln bereits, dass sich (wenn wir mal kurz die Vorzeichen außer Acht lassen) Sinus und Kosinus beim Ableiten gegenseitig reproduzieren. Daher liegt es nahe, dass eine Stammfunktion \(F\) hier von der Form \(F(x)=a\cdot\cos(x)-b\cdot x^3\) ist. Dann ist \(F'(x)=a\cdot\big(-\sin(x)\big)-3b\cdot x^2\) und damit diese Ableitung mit \(f\) übereinstimmt muss offensichtlich \(a=-2\) und \(b=\frac{1}{3}\) sein. Wir versuchen also den Ansatz:

\(\begin{align*}F(x)=-2\cdot \cos(x)-\frac{1}{3}x^3\,.\end{align*}\)

Dann ist die Ableitung tatsächlich \(F'(x)=-2\cdot \big(-\sin(x)\big)-\frac{1}{3}\cdot3x^2=2\cdot\sin(x)-x^2=f(x)\) und somit \(F\) eine Stammfunktion.

Aufgabe 2

(a) Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion zu \(f(x)=x^2\). Mit der Tabelle von S. 172 erhalten wir zum Beispiel \(F(x)=\frac{1}{3}\cdot x^3\). Dann folgt

\(\begin{align*}\int_{-1}^{2}x^2\,dx=\Big[\frac{1}{3}\cdot x^3\Big]_{1}^{2}=\frac{1}{1}\cdot2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3=\frac{7}{3}\,.\end{align*}\)

(b) Mit der Tabelle von S. 172 wissen wir bereits, dass \(G(x)=\sin(x)\) eine Stammfunktion zu \(g(x)=\cos(x)\) ist und da multiplakative Konstanten beim Ableiten erhalten bleiben ist \(F(x)=3\cdot\sin(x)\) eine Stammfunktion zu \(f(x)=3\cdot\cos(x)\). Damit folgt:

\(\begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\cdot\cos(x)\,dx=\Big[3\cdot \sin(x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=3\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-3\cdot\sin(0)=3\,.\end{align*}\)

\(\begin{align*}\int_{1}^{5}2x+4\,dx=\Big[x^2+4x\Big]_{1}^{5}=5^2+4\cdot5-(1^2+4\cdot 1)=40\,.\end{align*}\)

Aufgabe 3

Mit der Produkt- und Kettenregel aus Kapitel 10 (S. 146 & S. 148), ist

\(\begin{align*}F'(x)&=\big[-(2x+4)\big]’\cdot e^{-0,5x}+\big[-(2x+4)\big]\cdot\big(e^{-0,5x}\big)’\\ &=-2\cdot e^{-0,5x}-(2x+4)\cdot e^{-0,5x}\cdot (-0,5)\\ &=e^{-0,5x}\cdot\big[-2-(2x+4)\cdot(-0,5)\big]\\ &=e^{-0,5x}\cdot\big[-2-(-x-2)\big]=x\cdot e^{-0,5x}=f(x)\,,\end{align*}\)

also \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).