Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 155)
Aufgabe 1
(a) Wir legen los und bestimmen die ersten drei Ableitungen (am besten vorher zusammenfassen!):
\(f'(x)=\frac{1}{3}x^3-9x\) \(f^{\prime\prime}(x)=x^2-9\) \(f^{\prime\prime\prime}(x)=2x\)Die zweite Ableitung ist \(x=-3\) und \(x=3\) null.Die dritte Ableitung ist für alle Werte außer null ungleich null, so dass es sich in beiden Fällen um Wendestellen handelt. Die zugehörige Koordinaten lauten \((-3|-30,75)\) bzw. \((3|-30,75)\)
(b) Hier gilt:
\(g'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}\) \(g^{\prime\prime}(x)=-e^{-x}-(-x-1)e^{-x}=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=xe^{-x}\) \(g^{\prime\prime\prime}(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}\)Da die natürliche Exponentialfunktion nie null wird, ist \(x=0\) die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung und somit einziger Kandidat für eine Wendestelle. Da die dritte Ableitung nur für -1 null wird, handelt es sich bei \(x\) auch wirklich um eine Wendestelle. Ihre Koordinaten sind \((0|2)\).
(c) Hier gilt:
\(h'(x)=4x^3+9x^2\) \(h^{\prime\prime}(x)=12x^2+9\) \(h^{\prime\prime\prime}(x)=24x\)Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind \(x=-\sqrt{0,75}\) und \(x=\sqrt{0,75}\). Die einzige Nullstelle der dritten Ableitung ist Null, so dass es sich jeweils um Wendestellen handelt. Ihre Koordinaten sind \((-0,75|3,375)\) bzw. \((0,75|6,75)\).
Aufgabe 2
Versuche jeweils möglichst einfache Beispiele zu finden.
(a) Die zweite Ableitung darf nur eine Nullstelle haben. Z.B. \(f^{\prime\prime}(x)=x\). Für die dritte Ableitung gilt dann automatisch \(f^{\prime\prime\prime}(x)=1\neq 0\). Für die erste Ableitung setzen wir \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2\), damit auch die zweite Ableitung herauskommt. Die Funktion ist dann \(f(x)=\frac{1}{6}x^3\). Alternativ kannst du auch einfach dein Wissen über das grundlegende Aussehen von Funktionen nutzen: So ist z.B. bekannt, dass \(f(x)=x^3\) nur genau eine Wendestelle besitzt.
(b) Hier kann man ähnlich vorgehen, z.B. indem man \(f^{\prime\prime}(x)=x(x-1)=x^2-x\) setzt. Die Nullstellen sind dann \(x=0\) und \(x=1\). Die dritten Ableitung ist \(f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-1\), was für beide Werte ungleich null ist. Die erste Ableitung ist dann \(f'(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\) und die Funktion selbst \(f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{6}x^3\).