Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 151)

Aufgabe 1

Die erste Ableitung gehört zur zweiten Funktion, die zweite Ableitung zur ersten Funktion. Die dritte Ableitung kann schließlich zur dritten Funktion zugeordnet werden.

Aufgabe 2

(a) Es gilt: \(f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{lr}-x & x<0\\ 0 & x=0\\x & x>0\\\end{array}\right.\)

(b) Wie schon auf Seite 141 versuchen wir jetzt die Ableitung von \(f\) mithilfe des Differenzialquotienten zu bestimmen. Aus anschaulichen Gründen wissen wir bereits, warum der folgende Ausdruck eigentlich nicht existiert: \(f'(0)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{|0 + h| – |0|}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{|h|}{h}\).

Wenn sich nun \(h\) der Null annähert, könnte das auf verschiedene Weisen passieren. Je nachdem, ob dies von rechts oder links passiert, ist hierbei der Betrag wie in obiger Fallunterscheidung aufzulösen. Wir betrachten zunächst den Fall, dass \(h\) immer positiv ist. Dann gilt:

\(\lim\limits_{h\to 0} \frac{|h|}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to 0} \frac{h}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to 0} 1\) \(=1\)

Jetzt betrachten wir den Fall, dass \(h\) immer negativ ist. Dann gilt:

\(\lim\limits_{h\to 0} \frac{|h|}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to 0} \frac{-h}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to 0} -1\) \(=-1\)

Je nachdem von welcher Seite sich \(h\) also der Null annähert, erhalten wir einen unterschiedlichen Grenzwert und somit theoretisch auch einen anderen Wert für die Ableitung. So etwas will man nicht und sagt hier daher, dass der Grenzwert (und somit auch die Ableitung) nicht existiert.