Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 149)

Aufgabe 1

Ist nichts anderes angegeben, wurden die Aufgaben mit der Kettenregel abgeleitet.

(a) \(f'(x)=e^{2x^4}\cdot 8x^3\)

(b) \(g'(x)=\frac{1}{x^3+x^2+x}\cdot (3x^2+2x+1)=\frac{3x^2+2x+1}{x^3+x^2+x}\)

(c) \(h'(x)=(9(\sin(x))^2+4(\sin x))\cdot \cos x\) (Alternativ: Mit Summenregel alle Summanden einzeln betrachten und hierbei bei den ersten beiden auch jeweils die Kettenregel nutzen)

(d) \(i'(x)=2(2x^2+1)\cdot 4x=16x^3+8x\) (Alternativ: Erst binomische Formel, dann ohne Kettenregel)

(e) \(j'(x)=(3^{x-2})’\cdot \tan(x-2) + 3^{x-2}\cdot (\tan(x-2))’=3^{x-2}\cdot \ln 3 \cdot \tan(x-2) + 3^{x-2}\cdot \frac{1}{(\cos(x-2))^2}\) (Hier haben wir erst die Produkt-, dann jeweils die Kettenregel verwendet. Hierbei wird die innere Ableitung zu 1 und fällt somit weg.)

(f) \(k'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\cos(2x))}}\cdot (\sin(\cos(2x)))’\ \)

\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\cos(2x))}}\cdot (\cos(\cos(2x)))\cdot (\cos(2x))’\ \)

\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\cos(2x))}}\cdot (\cos(\cos(2x)))\cdot (-\sin(2x)\cdot 2)\) (Hier wurde die Kettenregel insgesamt dreimal angewendet.)