Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 147)

Aufgabe 1

(a) Nutze die Produktregel: \(f'(x)=2e^x\cdot \tan x + 2e^x \cdot \frac{1}{(\cos x)^2}=2e^x(\tan x + \frac{1}{(\cos x)^2})\)

(b) Nutze die Quotientenregel: \(g'(x)=\frac{2x\cdot (2x+3)-x^2\cdot 2}{(2x+3)^2} = \frac{2x^2+6x}{(2x+3)^2}\)

(c) Hier ist es einfacher, zunächst umzuformen: \(h(x)=6x^5\), so dass \(h'(x)=30x^4\) folgt.

Aufgabe 2

(a) Schreibt man \(f\) als \(f(x)=e^x\cdot \frac{1}{x}\), lässt sich die Produktregel anwenden. Damit folgt: \(f'(x)=e^x\cdot \frac{1}{x} + e^x\cdot (-1x^{-2}) = e^x(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})\), denn es gilt \(\frac{1}{x}=x^{-1}\).

(b) Immer, wenn die Funktion abgeleitet wird, bleibt erneut der Term \(x^2e^x\) aufgrund dessen, dass sich \(e^x\) beim Ableiten nicht verändert, stehen. Somit enthält die Ableitung immer wieder die Ausgangsfunktion und wird folglich nie zu null.

Aufgabe 3

(a) Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus verhalten sich zyklisch. Leitet man \(\sin x\), ergibt sich wie bereits dargestellt, \(\cos x\). Leitet man diesen ab, erhält man \(-\sin x\) (s. Tabelle auf S. 146). \(-\sin x\) abgeleitet ist aufgrund der Faktorregel \(-\cos x\) und dieser wird schließlich wieder zu \(\sin x\). Dieser abgeleitet ergibt dann wieder \(\cos x\) usw.

(b) Leitet man eine der in (a) aufgezählten Funktionen ab, ergibt sich nach jedem vierten Ableiten wieder die Ausgangsfunktion. Da 1000 durch 4 teilbar ist, lautet die 1000. Ableitung wieder \(\sin x\).