Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 141)

Aufgabe 1

(a) Es gilt \(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

\(=\lim\limits_{h\to0}\frac{(1000(-\frac{1}{9}(x_0+h)^2+\frac{5}{3}(x_0+h)-1)-(1000(-\frac{1}{9}x_0^2+\frac{5}{3}x_0-1))}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{(-\frac{1}{9}(x_0+h)^2+\frac{5}{3}(x_0+h)-1)-(-\frac{1}{9}x_0^2+\frac{5}{3}x_0-1)}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}(x_0+h)^2+\frac{5}{3}(x_0+h)-1+\frac{1}{9}x_0^2-\frac{5}{3}x_0+1}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}(x_0+h)^2+\frac{5}{3}(x_0+h)+\frac{1}{9}x_0^2-\frac{5}{3}x_0}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}(x_0^2+2x_0h+h^2)+\frac{5}{3}(x_0+h)+\frac{1}{9}x_0^2-\frac{5}{3}x_0}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}(2x_0h+h^2)+\frac{5}{3}(x_0+h)-\frac{5}{3}x_0}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}h(2x_0+h)+\frac{5}{3}(x_0+h)-\frac{5}{3}x_0}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot \frac{-\frac{1}{9}h(2x_0+h)+\frac{5}{3}h}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}1000\cdot (-\frac{1}{9}(2x_0+h)+\frac{5}{3})\) \(=1000\cdot (-\frac{1}{9}(2x_0)+\frac{5}{3})\) \(=1000\cdot (-\frac{2}{9}x_0+\frac{5}{3})\)

Hierbei ergibt sich der letzte Schritt, weil \(h\) gegen 0 strebt, so dass der Grenzwert (in Abhängigkeit von \(x_0\) den entsprechenden Wert hat. Für 5 ergibt sich somit \(f'(5)=1000\cdot (-\frac{2}{9}\cdot 5+\frac{5}{3})=1000\cdot \frac{5}{9}\approx 555,56 [km/h]\).

(b) Da wir in (a) an keiner Stelle eine Einschränkung machen mussten, ergibt sich die entsprechende Rechnung für jedes beliebige \(x_0\). Die Ableitung lautet daher allgemein: \(f'(x)=1000\cdot (-\frac{2}{9}x+\frac{5}{3})\). Falls du noch fit bzgl. der Ableitungsregeln aus der Schule bist (oder diese schon mit dem #Mathebuddy wiederholt hast), versuche das gleiche Ergebnis doch noch einmal auf diesem Weg zu bestimmen. Die obige Limes-Rechnung veranschaulicht vielleicht an der ein oder anderen Stelle, warum die Ableitungsregeln so sind, wie sie sind.

Aufgabe 2

(a) \(g'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)

\(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x_0+h)^3-2x_0^3}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x_0+h)^2(x_0+h)-2x_0^3}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x_0^2+2x_0h+h^2)(x_0+h)-2x_0^3}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x_0^3+2x_0^2h+h^2x_0+x_0^2h+2x_0h^2+h^3)-2x_0^3}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)-2x_0^3}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)}{h}\) \(=\lim\limits_{h\to0}2(3x_0^2+3x_0h+h^2)\) \(=6x_0^2\)

Es gilt also allgemein \(g'(x)=6x^2\).

(b) Hier kannst du genau so wie in Aufgabe 1 (a) oder Teil (a) dieser Aufgabe vorgehen. Eine Alternative bietet das Ausnutzen der Summenregel (s. S. 144). Falls für eine Funktion \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\) gilt, folgt automatisch \(f'(x)=f_1′(x)+f_2′(x)\). Da wir beide Summanden von \(h\) bereits einmal abgeleitet haben, gilt somit \(h'(x)=6x^2+2x\).