Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 165)

Aufgabe 1

Für die vorliegende Funktion \(f\) wird die Vorschrift des Newton-Verfahrens zu \(x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-0,4x_n^2-4,2x_n+3,4}{3x_n^2-0,8x_n-4,2}\). Wir beginnen mit der Ausgangsschätzung \(x_1=0,9\).

Durch wiederholtes Einsetzen in der Vorschrift ergibt sich \(x_2=x_1-\frac{x_1^3-0,4x_1^2-4,2x_1+3,4}{3x_1^2-0,8x_1-4,2}=0,9-\frac{0,9^3-0,4\cdot 0,9^2-4,2\cdot 0,9+3,4}{3\cdot 0,9^2-0,8\cdot 0,9-4,2}\approx 0,9100401606\)

\(x_3=x_2-\frac{x_2^3-0,4x_2^2-4,2x_2+3,4}{3x_2^2-0,8x_2-4,2}\approx 0,9101354592\)

\(x_4=x_3-\frac{x_3^3-0,4x_3^2-4,2x_3+3,4}{3x_3^2-0,8x_3-4,2}\approx 0,9101354678\)

Zur Erinnerung: Das Newton-Verfahren liefert eine Näherung einer Nullstelle von \(f\). Versuche doch einmal die Funktion an der entsprechenden Näherung auszuwerten, um zu schauen, wie nah bei Null du schon bist.

Aufgabe 2

Es ist kein Geheimnis, dass sich Sinus und Cosinus zum ersten Mal (rechts der Null) bei \(\frac{\pi}{4}\) schneiden – das kannst du z.B. anhand der Graphen auf S. 116 erahnen. Diese Aufgabe dient also der Übung, dies einmal mit dem Newton-Verfahren näherungsweise zu überprüfen.

Damit man den Schnittpunkt bestimmen kann, muss man beide Funktionen gleichsetzen: \(\sin x=\cos x\). Das Newton-Verfahren ist aber zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion gemacht, also stellt man die Funktion \(f(x)=\sin x – \cos x\) auf. Die Nullstellen dieser Funktion müssen offenbar mit den Lösungen obiger Gleichung übereinstimmen.

Es gilt \(f'(x)=\cos x + \sin x\) und entsprechend lautet die Vorschrift für das Newton-Verfahren \(x_{n+1}=x_n-\frac{\sin x_n – \cos x_n}{\cos x_n + \sin x_n}\).

Wir starten mit \(x_1=0,5\). Es ergibt sich:

\(x_2=x_1-\frac{\sin x_1 – \cos x_1}{\cos x_1 + \sin x_1}\approx 0,793407993\)

\(x_3=x_2-\frac{\sin x_2 – \cos x_2}{\cos x_2 + \sin x_2}\approx 0,7853979921\)

\(x_4=x_3-\frac{\sin x_3 – \cos x_3}{\cos x_3 + \sin x_3}\approx 0,7853981634\)

Dieser Wert ist bereits so genau, dass ihn die meisten Taschenrechner nicht mehr von \(\frac{\pi}{4}\) unterscheiden können. Das Newton-Verfahren liefert also meist bereits nach wenigen Schritten sehr gute Näherungen.

Achtung: Hier liegt es vor allem auch am richtigen Startwert, möchte man die gesuchte Lösung erhalten. Wähle einen anderen Startwert (z.B. \(x_1=-10\)) und du erhältst eine andere der unendlich vielen Lösungen der Gleichung \(\sin x=\cos x\).