Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 163)

Aufgabe 1

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Kantenlängen \(a\) und \(b\) berechnet sich als Produkt dieser. Wir stellen daher die Funktion \(A(a,b)=a\cdot b\) auf. Diese sollte einen möglichst maximalen Wert annehmen.

Um eine Funktion zu erhalten, die nur von einer Variablen abhängig ist, binden wir noch die Nebenbedingung ein. Insgesamt stehen nur 20 Meter Zaun zur Verfügung, so dass alle Kantenlängen zusammen 20 ergeben: \(a+a+b+b=2a+2b=20\).

Die Nebenbedingung lässt sich z.B. zu \(b=\frac{20-2a}{2}=10-a\) umstellen. Setzt man dies in \(A\) ein, erhält man \(A(a)=a\cdot (10-a)=-a^2+10a\).

Um ein lokales Extremum zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung: \(A'(a)=-2a+10\). Diese nimmt nur für \(a=5\) den Wert 0 an. Da es sich bei \(A\) um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, muss dies ein lokaler Hochpunkt sein. Für \(a=5\) wird die Fläche also maximal.

Durch Einsetzen in die Nebenbedingung erhält man, dass dann auch \(b=5\) gilt. Die Fläche ist also am größten, wenn das Rechteck zu einem Quadrat wird. Dies ist übrigens immer so, da das Quadrat unter allen Rechtecken mit selbem Umfang den größten Flächeninhalt besitzt.

Aufgabe 2

Das Volumen einer solchen Schachtel berechnet sich als \(V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c\). Wir wissen, dass die Höhe und somit z.B. \(c=x\) beträgt. Aus den Grundabmessungen kann man \(a=b=5-2x\) ableiten, was hier die Rolle der Nebenbedingung annimmt.

Insgesamt ergibt sich so \(V(x)=(5-2x)^2x=(25-20x+4x^2)x=4x^3-20x^2+25x\).

Es gilt \(V'(x)=12x^2-40x+25\) mit den Nullstellen \(x_1=\frac{5}{6}\) und \(x_2=\frac{5}{2}\). Einsetzen in die zweite Ableitung \(V^{\prime\prime}(x)=24x-40\) liefert \(V^{\prime\prime}(\frac{5}{6})=-20<0\) bzw. \(V^{\prime\prime}(\frac{5}{2})=20>0\). Die erste Nullstelle der Ableitung liefert also einen lokalen Hoch-, die zweite einen Tiefpunkt.

Das Volumen wird also für \(x=x_1=\frac{5}{6}\) maximal.