Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 159)
Aufgabe 1
(a) Es gilt \(f'(x)=-12x^3\) und \(f^{\prime\prime}(x)=-36x^2\). Hierbei handelt sich sich um eine stark gestauchte nach unten geöffnete Parabel. Entsprechend ist sie außer in 0 stets negativ und somit die Funktion stets konkav.
(b) Es gilt \(g'(x)=-6x^2-2\) und \(g^{\prime\prime}(x)=-12x\). Für negative Werte ist die zweite Ableitung positiv, für positive Werte negativ. Links von \(x=0\) ist die Funktion daher konvex, rechts davon konkav.
(c) Es gilt \(h'(x)=4x^3-8x\) und \(h^{\prime\prime}(x)=12x^2-8\). Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind \(x_1=-\sqrt{\frac{2}{3}}\) und \(x_2=\sqrt{\frac{2}{3}}\). Da es sich beim zugehörigen Funktionsgraphen um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist die Funktion zwischen der Nullstellen negativ und außerhalb positiv. Entsprechend ist \(h\) zwischen \(x_1\) und \(x_2\) konkav und außerhalb konvex.
Aufgabe 2
(a) Tatsächlich ist die Funktion in Aufgabe 1 (c) ein Beispiel für diese Situation. Ganz allgemein muss eine Funktion um einen lokalen Hochpunkt konkav sein. Das Krümmungsverhalten kehrt sich bei einer Wendestelle jeweils um, so dass die besagte Funktion zwischen den Wendestellen konkav und außerhalb konvex sein muss. Da es keine weiteren Wendestellen gibt, gilt der letzte Teil für den gesamten Bereich außerhalb der Wendestellen.
(b) Für \(b>1\) wächst die Funktion, für \(b<1\) fällt sie (s. S. 110), zumindest falls \(a\) positiv ist. In jedem Fall aber ist sie konvex. Ist \(a\) negativ, wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt. Hierdurch ist sie dann nicht mehr konvex sondern konkav.