Kapitel 10: Differenzialrechnung (S. 157)

Aufgabe 1

Wir benutzen jeweils das Kriterium auf S. 156 und schauen uns das Vorzeichen der ersten Ableitung an.

(a) Es gilt \(f'(x)=-16x^3\). Wenn \(x\) negativ ist, ist \(x^3\) auch negativ und \(f'(x)\) somit positiv. Wenn \(x\) positiv ist, ist \(x^3\) auch positiv und \(f'(x)\) somit negativ. Die Funktion ist somit streng monoton steigend für \(x<0\) und streng monoton fallend für \(x>0\).

(b) Es gilt \(g'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}\). Da die natürliche Exponentialfunktion immer positiv ist, ist das Verhalten von \(-x-1\) entscheidend für das Monotonieverhalten. Es gilt \(-x-1<0 \Leftrightarrow -x<1 \Leftrightarrow x>1 \) (Achtung! Bei Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um.). Für \(x>1\) ist also die Ableitung negativ und die Funktion somit streng monoton fallend. Ganz ähnlich zeigt man, dass sie für \(x<1\) streng monoton steigend ist.

(c) Es gilt \(h'(x)=-6x^2+2\). Der Funktionsgraph dieser Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, die um zwei Einheiten nach oben verschoben ist. Ihre Nullstellen sind \(x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}}\) und \(x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}\). Dazwischen muss sie dann positiv sein, außerhalb der Nullstellen negativ. Entsprechend ist die Funktion zwischen diesen beiden Stellen streng monoton steigend, außerhalb streng monoton fallend.

Aufgabe 2

(a) Der Hochpunkt muss höher liegen als der Tiefpunkt, ansonsten müssten sich dazwischen weitere lokale Extremstellen befinden. Folglich muss die Funktion zwischen \(x=-2\) und \(x=1\) monoton fallen. Links vom Hochpunkt muss sie monoton fallen, ansonsten gäbe es auch hier weitere Extremstellen. Ganz ähnlich muss sie rechts vom Tiefpunkt monoton steigen.

(b) Die Funktion \(f(x)=x^3\) hat bekanntlich einen Sattelpunkt bei \(x=0\). Die Funktion ist streng monoton steigend. Ganz allgemein muss eine Funktion um einen Sattelpunkt immer streng monoton sein, da sich sonst ein Plateau (also ein kleines Stück auf dem die Funktion konstant ist) ergeben würde, was einem Sattelpunkt widerspräche.

(c) Die Funktion besteht aus drei verschiedenen Abschnitten. Der erste Abschnitt nähert sich an seinem rechten Rand dem Wert 4. Der zweite Abschnitt ist durch die Wahl von \(c\) konstant. Der Wert muss also mindestens 4 sein, damit der Funktionswert insgesamt an dieser Stelle nicht abfällt, sondern steigt oder gleich bleibt. Der dritte Abschnitt nähert sich an seinem linken Rand dem Wert 6. Damit auch hier der Wert insgesamt ansteigt, sollte \(c\) den Wert 6 nicht überschreiten. Insgesamt gilt also \(4 \le c \le 6\).