Kapitel 1: Bruchrechnung – Übungsmix (S. 12)

Aufgabe 1

(a) \(\displaystyle\left(\frac{3+4}{2}-\frac{2}{5}\right)\cdot 6=\left(\frac{7}{2}-\frac{2}{5}\right)\cdot6\) \(\displaystyle=\left(\frac{35}{10}-\frac{4}{10}\right)\cdot \frac{6}{1}=\frac{31}{10}\cdot\frac{6}{1}\) \(\displaystyle=\frac{31\cdot6}{10\cdot1}=\frac{186}{10}=18,6\)

(b) \(\displaystyle\frac{\frac{3}{7}+2}{4}-\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}+3\frac{1}{2}=\frac{\frac{3}{7}+\frac{14}{7}}{4}-\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}+\frac{7}{2}=\frac{\frac{17}{7}}{4}-\frac{5\cdot 3}{6\cdot4}+\frac{7}{2}\) \(\displaystyle=\frac{17}{7}:4-\frac{15}{24}+\frac{7}{2}=\frac{17}{7}\cdot\frac{1}{4}-\frac{15}{24}+\frac{84}{24}\) \(\displaystyle=\frac{17}{28}+\frac{69}{24}=\frac{102}{168}+\frac{483}{168}\) \(\displaystyle=\frac{585}{168}=\frac{195}{56}\)

(c) \(\displaystyle\left(3\frac{3}{4}-1\frac{2}{5}\right):0,25+1,4\cdot\frac{1\frac{1}{5}-0,6}{1+0,\overline{6}}\) \(\displaystyle=\left(\frac{15}{4}-\frac{7}{5}\right):\frac{1}{4}+\frac{7}{5}\cdot\frac{\frac{6}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}}\) \(\displaystyle=\left(\frac{75}{20}-\frac{28}{20}\right)\cdot\frac{4}{1}+\frac{7}{5}\cdot\frac{\frac{3}{5}}{\frac{5}{3}}\) \(\displaystyle=\frac{47}{20}\cdot\frac{4}{1}+\frac{7}{5}\cdot\left(\frac{3}{5}:\frac{5}{3}\right)\) \(\displaystyle=\frac{47}{5}+\frac{7}{5}\cdot\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}\right)\) \(\displaystyle=\frac{47}{5}+\frac{63}{125}\) \(\displaystyle=9\frac{2}{5}+\frac{63}{125}=9\frac{50}{125}+\frac{63}{125}=9\frac{113}{125}=9,904\)

(d) Diese Aufgabe zeigt, dass es durchaus sinnvoll sein kann, nicht jeden Term sofort zu „berechnen“. Hier ist es hilfreich, die \(\displaystyle 15^2\) am Anfang zunächst einfach nur „mitzunehmen“ und erst an der richtigen Stelle zu verrechnen.

\(\displaystyle 15^2\cdot\left(-\frac{2}{5}+\left(-\frac{4}{15}\right)\right)^4-\left(14\cdot\frac{1}{7\cdot3^2}+\frac{290}{9}\right)\) \(\displaystyle=15^2\cdot\left(-\frac{6}{15}-\frac{4}{15}\right)^4-\left(\frac{14}{1}\cdot\frac{1}{7\cdot9}+\frac{290}{9}\right)\) \(\displaystyle=15^2\cdot\left(\frac{-10}{15}\right)^4-\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1\cdot9}+\frac{290}{9}\right)\) \(\displaystyle=\frac{15^2}{1}\cdot\frac{(-10)^4}{15^4}-\left(\frac{2}{9}+\frac{290}{9}\right)\) \(\displaystyle=\frac{1}{1}\cdot\frac{(-10)^4}{15^2}-\frac{292}{9}\) \(\displaystyle=\frac{10000}{225}-33\frac{5}{9}\) \(\displaystyle=\frac{400}{9}-\frac{292}{9}\) \(\displaystyle=\frac{108}{9}\) \(\displaystyle=12\)

Aufgabe 2

(a) Ein gemeinsamer Nenner für alle vier Terme ist 72. Erweitern wir die Brüche entsprechend, erhalten wir \(\displaystyle\frac{11}{8}=\frac{11\cdot9}{8\cdot 9}=\frac{99}{72}\,,\quad\) \(\displaystyle\frac{7}{12}=\frac{7\cdot6}{12\cdot 6}=\frac{42}{72}\,,\quad\) \(\displaystyle\frac{8}{9}=\frac{8\cdot8}{9\cdot 8}=\frac{64}{72}\,,\quad\) \(\displaystyle\frac{1}{6}=\frac{1\cdot12}{6\cdot 12}=\frac{12}{72}\)

und somit ist die richtige Reihenfolge

\(\displaystyle\frac{1}{6}\,,\;\frac{7}{12}\,,\;\frac{8}{9}\,,\;\frac{11}{8}\,.\)

Natürlich lässt sich die Aufgabe auch anders lösen. Zum Beispiel fällt bei genauerem Hinsehen auf, dass der erste Bruch der Einzige ist, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist, der also definitiv größer als Eins ist. Folglich muss er der Größte der Brüche sein und wir müssen nur noch die anderen Drei richtig sortieren.

(b) Da \(\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{1}\right)^2=9\) größer als \(\displaystyle\frac{3}{2}\) und beide größer als Eins sind, müssen wir nur doch die verbliebenen beiden Zahlen sortieren. Nun ist aber \(\displaystyle0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\) und somit die richtige Reihenfolge

\(\displaystyle0,25\,,\;\frac{5}{8}\,,\;\frac{3}{2}\,,\;\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\,.\)

(c) Natürlich kann man für den Vergleich auch mit den Dezimalzahlen arbeiten. Wegen \(\displaystyle1,1^2\) \(\displaystyle=\left(\frac{11}{10}\right)^2\frac{11^2}{10^2}\) \(\displaystyle=\frac{121}{100}\) \(\displaystyle=1,21\) und \(\displaystyle\frac{35}{30}\) \(\displaystyle=\frac{7}{6}\) \(\displaystyle=1,166…\) \(\displaystyle=1,1\overline{6}\,,\) sowie \(\displaystyle\frac{10}{8}\) \(\displaystyle=\frac{5}{4}\) \(\displaystyle=1,25\) ist die richtige Reihenfolge

\(\displaystyle\frac{35}{30}\,,\;1,1^2\,,\;\frac{10}{8}\,,\;1,\overline{29}\,.\)

Aufgabe 3

(a) Die Flasche enthält \(\displaystyle\frac{3}{4}\) eines Liters, also \(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 1\,\)l \(\displaystyle=\frac{3}{4}\cdot 1000\,\)ml \(\displaystyle=\frac{3}{1}\cdot 250\,\)ml \(\displaystyle=750\,\)ml. Nun ist sie aber nur zu einem Drittel gefüllt und enthält daher nur \(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 750\,\)ml \(\displaystyle=\frac{750}{3}\,\)ml \(\displaystyle=250\,\)ml.

Natürlich kann man sich auch überlegen, dass ein Drittel von \(\displaystyle\frac{3}{4}\) gerade \(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\) \(\displaystyle=\frac{1}{4}\) ist und somit die Flasche nur noch \(\displaystyle\frac{1}{4}\,\)l \(\displaystyle=250\,\)ml enthält.

(b) Insgesamt enthält die Mischung ja gerade 3,5 Liter Wasser. Die 2,5 Liter mit 27°C entsprechen daher einem Anteil von \(\displaystyle2,5:3,5\) \(\displaystyle=\frac{5}{2}:\frac{7}{2}\) \(\displaystyle=\frac{5}{2}\cdot\frac{2}{7}\) \(\displaystyle=\frac{5}{7}\) und der Liter mit 12,5°C einem Anteil von \(\displaystyle\frac{2}{7}\). Damit entspricht die Temperatur der Mischung gerade

\(\displaystyle\frac{5}{7}\cdot27\)°C \(\displaystyle+\frac{2}{7}\cdot12,5\)°C \(\displaystyle=\frac{135}{7}\)°C \(\displaystyle+\frac{25}{7}\)°C \(\displaystyle=\frac{160}{7}\)°C \(\displaystyle\approx22,9\)°C.

(d) Da \(\displaystyle1\frac{1}{4}=1\frac{25}{100}=1,25\) hast du genau so viel Schweinehack wie Rinderhack gekauft. Da auch die Burger jeweils zu gleichen Teilen aus Rinder- bzw. Schweinehack bestehen sollen, müssen wir uns also nur noch überlegen, wieviele halbe Burger wir aus Rinderhack oder wieviele halbe Burger wir aus Schweinehack herstellen können. Da ein halber Burger aus \(75\)g\(\displaystyle=\frac{75}{1000}\)kg\(\displaystyle=\frac{3}{40}\)kg besteht und \(1,25\)kg\(:75\)g\(\displaystyle=\frac{5}{4}:\frac{3}{40}\)\(\displaystyle=\frac{5}{4}\cdot\frac{40}{3}\)\(\displaystyle=\frac{5}{1}\cdot\frac{10}{3}\)\(\displaystyle=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}=16,666…\) ist, kannst du ca 16 Patties mit dieser Menge formen.

Aufgabe 4

Folgen wir stumpf den Anweisungen des Rezeptes, benötigen wir ein Glas in das \(3\)cl\(+2\)cl\(+2\)cl\(+8\)cl\(+8\)cl\(=23\)cl Flüssigkeit passen. Somit besteht der Cocktail zu \(\displaystyle\frac{3}{23}\) aus Rum \(\displaystyle\frac{2}{23}\) aus Kokoslikör, \(\displaystyle\frac{2}{23}\) aus Maracujalikör, \(\displaystyle\frac{8}{23}\) aus Orangensaft und \(\displaystyle\frac{8}{23}\) aus Ananassaft. Um ein 300 ml Glas zu füllen benötigen wir also entsprechend:

\(\displaystyle\frac{3}{23}\cdot300\)ml\(\displaystyle=\frac{900}{23}\)ml\(\,\approx39\)ml Rum
\(\displaystyle\frac{2}{23}\cdot300\)ml\(\displaystyle=\frac{600}{23}\)ml\(\,\approx26\)ml Kokoslikör
\(\displaystyle\frac{2}{23}\cdot300\)ml\(\displaystyle=\frac{600}{23}\)ml\(\,\approx26\)ml Maracujalikör
\(\displaystyle\frac{8}{23}\cdot300\)ml\(\displaystyle=\frac{2400}{23}\)ml\(\,\approx104\)ml Orangensaft
\(\displaystyle\frac{8}{23}\cdot300\)ml\(\displaystyle=\frac{2400}{23}\)ml\(\,\approx104\)ml Ananassaft

Damit fehlt aber noch 1ml, den man je nach Bedarf dem Rum oder dem Orangensaft zuschlagen kann.